Symmetric transformation (Liki)

 

Paulus Gerdes introduced the Liki magic square (see http://plus.maths.org/content/new-designs-africa). He showed that it is possible to transform a square with consecutive digits into a magic square by swapping half of the digits symmetrically (= replace half of the digits with the inverse of the digits). You can use this method to construct magic squares which are a multiple of 4 (= 4x4, 8x8, 12x12, 16x16, ... magic square).

 

Paulus Gerdes constructed the following symmetric 8x8 magic square:


8x8 square with consecutive digits

 

   

232

240

248

256

264

272

280

288

 
 

260

               

260

36

 

1

2

3

4

5

6

7

8

 

100

 

9

10

11

12

13

14

15

16

 

164

 

17

18

19

20

21

22

23

24

 

228

 

25

26

27

28

29

30

31

32

 

292

 

33

34

35

36

37

38

39

40

 

356

 

41

42

43

44

45

46

47

48

 

420

 

49

50

51

52

53

54

55

56

 

484

 

57

58

59

60

61

62

63

64

 

 

 

Symmetric 8x8 magic square

 

   

260

260

250

260

260

260

260

260

 
 

260

               

260

260

 

1

63

3

61

60

6

58

8

 

260

 

56

55

11

12

13

14

50

49

 

260

 

17

18

46

45

44

43

23

24

 

250

 

40

26

28

28

29

35

31

33

 

260

 

32

34

30

36

37

27

39

25

 

260

 

41

42

22

21

20

19

47

48

 

260

 

16

15

51

52

53

54

10

9

 

260

 

57

7

59

5

4

62

2

64

 

 

 

You can use Paulus' method also to construct a 24x24 magic square.  If you swap the digits in the same cells of each 4x4 sub-square, you get a magic 24x24 square with more magic features:

 

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144
145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168
169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192
193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216
217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240
241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264
265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288
289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312
313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336
337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360
361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384
385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408
409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432
433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456
457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480
481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504
505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528
529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552
553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576

 

 

1 575 574 4 5 571 570 8 9 567 566 12 13 563 562 16 17 559 558 20 21 555 554 24
552 26 27 549 548 30 31 545 544 34 35 541 540 38 39 537 536 42 43 533 532 46 47 529
528 50 51 525 524 54 55 521 520 58 59 517 516 62 63 513 512 66 67 509 508 70 71 505
73 503 502 76 77 499 498 80 81 495 494 84 85 491 490 88 89 487 486 92 93 483 482 96
97 479 478 100 101 475 474 104 105 471 470 108 109 467 466 112 113 463 462 116 117 459 458 120
456 122 123 453 452 126 127 449 448 130 131 445 444 134 135 441 440 138 139 437 436 142 143 433
432 146 147 429 428 150 151 425 424 154 155 421 420 158 159 417 416 162 163 413 412 166 167 409
169 407 406 172 173 403 402 176 177 399 398 180 181 395 394 184 185 391 390 188 189 387 386 192
193 383 382 196 197 379 378 200 201 375 374 204 205 371 370 208 209 367 366 212 213 363 362 216
360 218 219 357 356 222 223 353 352 226 227 349 348 230 231 345 344 234 235 341 340 238 239 337
336 242 243 333 332 246 247 329 328 250 251 325 324 254 255 321 320 258 259 317 316 262 263 313
265 311 310 268 269 307 306 272 273 303 302 276 277 299 298 280 281 295 294 284 285 291 290 288
289 287 286 292 293 283 282 296 297 279 278 300 301 275 274 304 305 271 270 308 309 267 266 312
264 314 315 261 260 318 319 257 256 322 323 253 252 326 327 249 248 330 331 245 244 334 335 241
240 338 339 237 236 342 343 233 232 346 347 229 228 350 351 225 224 354 355 221 220 358 359 217
361 215 214 364 365 211 210 368 369 207 206 372 373 203 202 376 377 199 198 380 381 195 194 384
385 191 190 388 389 187 186 392 393 183 182 396 397 179 178 400 401 175 174 404 405 171 170 408
168 410 411 165 164 414 415 161 160 418 419 157 156 422 423 153 152 426 427 149 148 430 431 145
144 434 435 141 140 438 439 137 136 442 443 133 132 446 447 129 128 450 451 125 124 454 455 121
457 119 118 460 461 115 114 464 465 111 110 468 469 107 106 472 473 103 102 476 477 99 98 480
481 95 94 484 485 91 90 488 489 87 86 492 493 83 82 496 497 79 78 500 501 75 74 504
72 506 507 69 68 510 511 65 64 514 515 61 60 518 519 57 56 522 523 53 52 526 527 49
48 530 531 45 44 534 535 41 40 538 539 37 36 542 543 33 32 546 547 29 28 550 551 25
553 23 22 556 557 19 18 560 561 15 14 564 565 11 10 568 569 7 6 572 573 3 2 576

 

 

This 24x24 magic square is not only symmetric, but each 1/6 row/column gives 1/6 of the magic sum.
 
If you change the starting position of the 24x24 square with consecutive digits, than you can construct an ultra magic 24x24 square:

 

 

1 2 6 5 10 9 13 14 17 18 22 21 26 25 29 30 33 34 38 37 42 41 45 46
3 4 8 7 12 11 15 16 19 20 24 23 28 27 31 32 35 36 40 39 44 43 47 48
51 52 56 55 60 59 63 64 67 68 72 71 76 75 79 80 83 84 88 87 92 91 95 96
49 50 54 53 58 57 61 62 65 66 70 69 74 73 77 78 81 82 86 85 90 89 93 94
99 100 104 103 108 107 111 112 115 116 120 119 124 123 127 128 131 132 136 135 140 139 143 144
97 98 102 101 106 105 109 110 113 114 118 117 122 121 125 126 129 130 134 133 138 137 141 142
145 146 150 149 154 153 157 158 161 162 166 165 170 169 173 174 177 178 182 181 186 185 189 190
147 148 152 151 156 155 159 160 163 164 168 167 172 171 175 176 179 180 184 183 188 187 191 192
193 194 198 197 202 201 205 206 209 210 214 213 218 217 221 222 225 226 230 229 234 233 237 238
195 196 200 199 204 203 207 208 211 212 216 215 220 219 223 224 227 228 232 231 236 235 239 240
243 244 248 247 252 251 255 256 259 260 264 263 268 267 271 272 275 276 280 279 284 283 287 288
241 242 246 245 250 249 253 254 257 258 262 261 266 265 269 270 273 274 278 277 282 281 285 286
291 292 296 295 300 299 303 304 307 308 312 311 316 315 319 320 323 324 328 327 332 331 335 336
289 290 294 293 298 297 301 302 305 306 310 309 314 313 317 318 321 322 326 325 330 329 333 334
337 338 342 341 346 345 349 350 353 354 358 357 362 361 365 366 369 370 374 373 378 377 381 382
339 340 344 343 348 347 351 352 355 356 360 359 364 363 367 368 371 372 376 375 380 379 383 384
385 386 390 389 394 393 397 398 401 402 406 405 410 409 413 414 417 418 422 421 426 425 429 430
387 388 392 391 396 395 399 400 403 404 408 407 412 411 415 416 419 420 424 423 428 427 431 432
435 436 440 439 444 443 447 448 451 452 456 455 460 459 463 464 467 468 472 471 476 475 479 480
433 434 438 437 442 441 445 446 449 450 454 453 458 457 461 462 465 466 470 469 474 473 477 478
483 484 488 487 492 491 495 496 499 500 504 503 508 507 511 512 515 516 520 519 524 523 527 528
481 482 486 485 490 489 493 494 497 498 502 501 506 505 509 510 513 514 518 517 522 521 525 526
529 530 534 533 538 537 541 542 545 546 550 549 554 553 557 558 561 562 566 565 570 569 573 574
531 532 536 535 540 539 543 544 547 548 552 551 556 555 559 560 563 564 568 567 572 571 575 576

 

 

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574 4 569 7 565 11 562 16 558 20 553 23 549 27 546 32 542 36 537 39 533 43 530 48
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