### Symmetric transformation

Paulus Gerdes introduced the Liki magic square (see http://plus.maths.org/content/new-designs-africa). He showed that it is possible to transform a square with consecutive numbers into a magic square by swapping half of the numbers symmetrically. You can use this method to construct magic squares which are a multiple of 4 (= 4x4, 8x8, 12x12, 16x16, ... magic square).

Paulus Gerdes constructed the following symmetric 8x8 magic square:

8x8 square with consecutive numbers

 232 240 248 256 264 272 280 288 260 260 36 1 2 3 4 5 6 7 8 100 9 10 11 12 13 14 15 16 164 17 18 19 20 21 22 23 24 228 25 26 27 28 29 30 31 32 292 33 34 35 36 37 38 39 40 356 41 42 43 44 45 46 47 48 420 49 50 51 52 53 54 55 56 484 57 58 59 60 61 62 63 64

Symmetric 8x8 magic square

 260 260 260 260 260 260 260 260 260 260 260 1 63 3 61 60 6 58 8 260 56 55 11 12 13 14 50 49 260 17 18 46 45 44 43 23 24 260 40 26 38 28 29 35 31 33 260 32 34 30 36 37 27 39 25 260 41 42 22 21 20 19 47 48 260 16 15 51 52 53 54 10 9 260 57 7 59 5 4 62 2 64

I used Paulus' method to construct a symmetric 12x12 magic square:

12x12 square with consecutive numbers

 804 816 828 840 852 864 876 888 900 912 924 936 870 870 78 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 222 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 366 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 510 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 654 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 798 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 942 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 1086 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 1230 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 1374 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 1518 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 1662 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144

Symmetric 12x12 magic square

 870 870 870 870 870 870 870 870 870 870 870 870 870 870 870 1 143 3 141 5 139 138 8 136 10 134 12 870 132 131 15 129 17 18 19 20 124 22 122 121 870 25 26 27 117 116 115 114 113 112 34 35 36 870 108 107 106 40 41 42 43 44 45 99 98 97 870 49 50 94 52 92 91 90 89 57 87 59 60 870 84 62 82 64 80 66 67 77 69 75 71 73 870 72 74 70 76 68 78 79 65 81 63 83 61 870 85 86 58 88 56 55 54 53 93 51 95 96 870 48 47 46 100 101 102 103 104 105 39 38 37 870 109 110 111 33 32 31 30 29 28 118 119 120 870 24 23 123 21 125 126 127 128 16 130 14 13 870 133 11 135 9 137 7 6 140 4 142 2 144

Use the same symmetric transformation in each 4x4 sub-square and you get the following 12x12 magic square:

 76 80 84 88 92 96 100 104 108 112 116 120 268 272 276 280 284 288 292 296 300 304 308 312 460 464 468 472 476 480 484 488 492 496 500 504 870 870 10 26 42 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 58 74 90 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 106 122 138 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 154 170 186 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 202 218 234 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 250 266 282 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 298 314 330 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 346 362 378 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 394 410 426 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 442 458 474 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 490 506 522 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 538 554 570 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144

 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 870 870 290 290 290 1 143 142 4 5 139 138 8 9 135 134 12 290 290 290 132 14 15 129 128 18 19 125 124 22 23 121 290 290 290 120 26 27 117 116 30 31 113 112 34 35 109 290 290 290 37 107 106 40 41 103 102 44 45 99 98 48 290 290 290 49 95 94 52 53 91 90 56 57 87 86 60 290 290 290 84 62 63 81 80 66 67 77 76 70 71 73 290 290 290 72 74 75 69 68 78 79 65 64 82 83 61 290 290 290 85 59 58 88 89 55 54 92 93 51 50 96 290 290 290 97 47 46 100 101 43 42 104 105 39 38 108 290 290 290 36 110 111 33 32 114 115 29 28 118 119 25 290 290 290 24 122 123 21 20 126 127 17 16 130 131 13 290 290 290 133 11 10 136 137 7 6 140 141 3 2 144

This 12x12 magic square is not only symmetric, but each 1/3 row/column gives 1/3 of the magic sum.

If you change the starting position of the 12x12 square with consecutive numbers, than you get the following (ultra) magic 12x12 square:

 56 60 76 72 88 92 108 104 120 124 140 136 248 252 268 264 280 284 300 296 312 316 332 328 440 444 460 456 472 476 492 488 504 508 524 520 870 870 14 46 78 1 2 6 5 9 10 14 13 17 18 22 21 22 54 86 3 4 8 7 11 12 16 15 19 20 24 23 870 870 118 150 182 27 28 32 31 35 36 40 39 43 44 48 47 870 870 110 142 174 25 26 30 29 33 34 38 37 41 42 46 45 870 870 206 238 270 49 50 54 53 57 58 62 61 65 66 70 69 870 870 214 246 278 51 52 56 55 59 60 64 63 67 68 72 71 870 870 310 342 374 75 76 80 79 83 84 88 87 91 92 96 95 870 870 302 334 366 73 74 78 77 81 82 86 85 89 90 94 93 870 870 398 430 462 97 98 102 101 105 106 110 109 113 114 118 117 870 870 406 438 470 99 100 104 103 107 108 112 111 115 116 120 119 870 870 502 534 566 123 124 128 127 131 132 136 135 139 140 144 143 870 870 494 526 558 121 122 126 125 129 130 134 133 137 138 142 141 870 870 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 870 870 290 290 290 1 143 6 140 9 135 14 132 17 127 22 124 290 290 290 142 4 137 7 134 12 129 15 126 20 121 23 870 870 290 290 290 27 117 32 114 35 109 40 106 43 101 48 98 870 870 290 290 290 120 26 115 29 112 34 107 37 104 42 99 45 870 870 290 290 290 49 95 54 92 57 87 62 84 65 79 70 76 870 870 290 290 290 94 52 89 55 86 60 81 63 78 68 73 71 870 870 290 290 290 75 69 80 66 83 61 88 58 91 53 96 50 870 870 290 290 290 72 74 67 77 64 82 59 85 56 90 51 93 870 870 290 290 290 97 47 102 44 105 39 110 36 113 31 118 28 870 870 290 290 290 46 100 41 103 38 108 33 111 30 116 25 119 870 870 290 290 290 123 21 128 18 131 13 136 10 139 5 144 2 870 870 290 290 290 24 122 19 125 16 130 11 133 8 138 3 141 870 870

This magic 12x12 square is panmagic, 2x2 compact, each 1/3 row/column gives 1/3 of the magic sum, but this 12x12 magic square is not symmetric.

Use this method to construct magic squares of order is multiple of 4 from 4x4 to infinity. See 4x48x812x1216x1620x2024x2428x2832x32

12x12, Symmetric transformation (Liki).x