Symmetric transformation

 

Paulus Gerdes introduced the Liki magic square (see http://plus.maths.org/content/new-designs-africa). He showed that it is possible to transform a square with consecutive digits into a magic square by swapping half of the digits symmetrically. You can use this method to construct magic squares which are a multiple of 4 (= 4x4, 8x8, 12x12, 16x16, ... magic square).

 

 

Paulus Gerdes constructed the following symmetric 8x8 magic square:


8x8 square with consecutive digits

 

   

232

240

248

256

264

272

280

288

 
 

260

               

260

36

 

1

2

3

4

5

6

7

8

 

100

 

9

10

11

12

13

14

15

16

 

164

 

17

18

19

20

21

22

23

24

 

228

 

25

26

27

28

29

30

31

32

 

292

 

33

34

35

36

37

38

39

40

 

356

 

41

42

43

44

45

46

47

48

 

420

 

49

50

51

52

53

54

55

56

 

484

 

57

58

59

60

61

62

63

64

 

 

 

Symmetric 8x8 magic square

 

   

260

260

260

260

260

260

260

260

 
 

260

               

260

260

 

1

63

3

61

60

6

58

8

 

260

 

56

55

11

12

13

14

50

49

 

260

 

17

18

46

45

44

43

23

24

 

260

 

40

26

38

28

29

35

31

33

 

260

 

32

34

30

36

37

27

39

25

 

260

 

41

42

22

21

20

19

47

48

 

260

 

16

15

51

52

53

54

10

9

 

260

 

57

7

59

5

4

62

2

64

 

 

 

I used Paulus' method to construct a symmetric 12x12 magic square:


12x12 square with consecutive digits

 

   

804

816

828

840

852

864

876

888

900

912

924

936

 
 

870

                       

870

78

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

 

222

 

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

 

366

 

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

 

510

 

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

 

654

 

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

 

798

 

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

 

942

 

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

 

1086

 

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

 

1230

 

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

 

1374

 

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

 

1518

 

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

 

1662

 

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

 

 

 


Symmetric 12x12 magic square

 

   

870

870

870

870

870

870

870

870

870

870

870

870

 
 

870

                       

870

870

 

1

143

3

141

5

139

138

8

136

10

134

12

 

870

 

132

131

15

129

17

18

19

20

124

22

122

121

 

870

 

25

26

27

117

116

115

114

113

112

34

35

36

 

870

 

108

107

106

40

41

42

43

44

45

99

98

97

 

870

 

49

50

94

52

92

91

90

89

57

87

59

60

 

870

 

84

62

82

64

80

66

67

77

69

75

71

73

 

870

 

72

74

70

76

68

78

79

65

81

63

83

61

 

870

 

85

86

58

88

56

55

54

53

93

51

95

96

 

870

 

48

47

46

100

101

102

103

104

105

39

38

37

 

870

 

109

110

111

33

32

31

30

29

28

118

119

120

 

870

 

24

23

123

21

125

126

127

128

16

130

14

13

 

870

 

133

11

135

9

137

7

6

140

4

142

2

144

 

 

 

 

Use the same symmetric transformation in each 4x4 sub-square and you get the following 12x12 magic square:

 

 

        76 80 84 88 92 96 100 104 108 112 116 120  
        268 272 276 280 284 288 292 296 300 304 308 312  
        460 464 468 472 476 480 484 488 492 496 500 504  
      870                         870
10 26 42   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12  
58 74 90   13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24  
106 122 138   25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36  
154 170 186   37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48  
202 218 234   49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60  
250 266 282   61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72  
298 314 330   73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84  
346 362 378   85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96  
394 410 426   97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108  
442 458 474   109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120  
490 506 522   121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132  
538 554 570   133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144  

 

 

 

        290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290  
        290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290  
        290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290  
      870                         870
290 290 290   1 143 142 4 5 139 138 8 9 135 134 12  
290 290 290   132 14 15 129 128 18 19 125 124 22 23 121  
290 290 290   120 26 27 117 116 30 31 113 112 34 35 109  
290 290 290   37 107 106 40 41 103 102 44 45 99 98 48  
290 290 290   49 95 94 52 53 91 90 56 57 87 86 60  
290 290 290   84 62 63 81 80 66 67 77 76 70 71 73  
290 290 290   72 74 75 69 68 78 79 65 64 82 83 61  
290 290 290   85 59 58 88 89 55 54 92 93 51 50 96  
290 290 290   97 47 46 100 101 43 42 104 105 39 38 108  
290 290 290   36 110 111 33 32 114 115 29 28 118 119 25  
290 290 290   24 122 123 21 20 126 127 17 16 130 131 13  
290 290 290   133 11 10 136 137 7 6 140 141 3 2 144  



 This 12x12 magic square is not only symmetric, but each 1/3 row/column gives 1/3 of the magic sum.

 
If you change the starting position of the 12x12 square with consecutive digits, than you get the following (ultra) magic 12x12 square:

 

 

        56 60 76 72 88 92 108 104 120 124 140 136      
        248 252 268 264 280 284 300 296 312 316 332 328      
        440 444 460 456 472 476 492 488 504 508 524 520      
      870                         870    
14 46 78   1 2 6 5 9 10 14 13 17 18 22 21      
22 54 86   3 4 8 7 11 12 16 15 19 20 24 23   870 870
118 150 182   27 28 32 31 35 36 40 39 43 44 48 47   870 870
110 142 174   25 26 30 29 33 34 38 37 41 42 46 45   870 870
206 238 270   49 50 54 53 57 58 62 61 65 66 70 69   870 870
214 246 278   51 52 56 55 59 60 64 63 67 68 72 71   870 870
310 342 374   75 76 80 79 83 84 88 87 91 92 96 95   870 870
302 334 366   73 74 78 77 81 82 86 85 89 90 94 93   870 870
398 430 462   97 98 102 101 105 106 110 109 113 114 118 117   870 870
406 438 470   99 100 104 103 107 108 112 111 115 116 120 119   870 870
502 534 566   123 124 128 127 131 132 136 135 139 140 144 143   870 870
494 526 558   121 122 126 125 129 130 134 133 137 138 142 141   870 870
                                     
                                     
        290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290      
        290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290      
        290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290 290      
      870                         870    
290 290 290   1 143 6 140 9 135 14 132 17 127 22 124      
290 290 290   142 4 137 7 134 12 129 15 126 20 121 23   870 870
290 290 290   27 117 32 114 35 109 40 106 43 101 48 98   870 870
290 290 290   120 26 115 29 112 34 107 37 104 42 99 45   870 870
290 290 290   49 95 54 92 57 87 62 84 65 79 70 76   870 870
290 290 290   94 52 89 55 86 60 81 63 78 68 73 71   870 870
290 290 290   75 69 80 66 83 61 88 58 91 53 96 50   870 870
290 290 290   72 74 67 77 64 82 59 85 56 90 51 93   870 870
290 290 290   97 47 102 44 105 39 110 36 113 31 118 28   870 870
290 290 290   46 100 41 103 38 108 33 111 30 116 25 119   870 870
290 290 290   123 21 128 18 131 13 136 10 139 5 144 2   870 870
290 290 290   24 122 19 125 16 130 11 133 8 138 3 141   870 870

 

 

This (ultra) magic 12x12 square is panmagic, 2x2 compact, each 1/3 row/column gives 1/3 of the magic sum, but this 12x12 magic square is not symmetric.

 

 

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12x12, Symmetric transformation (Liki).x
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