### Khajuraho method

Use the famous Khajuraho 4x4 panmagic square to construct larger magic squares which are a multiple of 4 (= 8x8, 12x12, 16x16, 20x20, … magic square).

Rewrite the Khajuraho magic square as follows:

Khajuraho magic square                Basic magic square

 7 12 1 14 7 h-4 1 h-2 2 13 8 11 2 h-3 8 h-5 16 3 10 5 h 3 h-6 5 9 6 15 4 h-7 6 h-1 4

To construct an 24x24 panmagic square, you need the basic square and 35 extending magic squares:

 7 h-4 1 h-2 8 -8 8 -8 16 -16 16 -16 24 -24 24 -24 32 -32 32 -32 40 -40 40 -40 2 h-3 8 h-5 8 -8 8 -8 16 -16 16 -16 24 -24 24 -24 32 -32 32 -32 40 -40 40 -40 h 3 h-6 5 -8 8 -8 8 -16 16 -16 16 -24 24 -24 24 -32 32 -32 32 -40 40 -40 40 h-7 6 h-1 4 -8 8 -8 8 -16 16 -16 16 -24 24 -24 24 -32 32 -32 32 -40 40 -40 40 48 -48 48 -48 56 -56 56 -56 64 -64 64 -64 72 -72 72 -72 80 -80 80 -80 88 -88 88 -88 48 -48 48 -48 56 -56 56 -56 64 -64 64 -64 72 -72 72 -72 80 -80 80 -80 88 -88 88 -88 -48 48 -48 48 -56 56 -56 56 -64 64 -64 64 -72 72 -72 72 -80 80 -80 80 -88 88 -88 88 -48 48 -48 48 -56 56 -56 56 -64 64 -64 64 -72 72 -72 72 -80 80 -80 80 -88 88 -88 88 96 -96 96 -96 104 -104 104 -104 112 -112 112 -112 120 -120 120 -120 128 -128 128 -128 136 -136 136 -136 96 -96 96 -96 104 -104 104 -104 112 -112 112 -112 120 -120 120 -120 128 -128 128 -128 136 -136 136 -136 -96 96 -96 96 -104 104 -104 104 -112 112 -112 112 -120 120 -120 120 -128 128 -128 128 -136 136 -136 136 -96 96 -96 96 -104 104 -104 104 -112 112 -112 112 -120 120 -120 120 -128 128 -128 128 -136 136 -136 136 144 -144 144 -144 152 -152 152 -152 160 -160 160 -160 168 -168 168 -168 176 -176 176 -176 184 -184 184 -184 144 -144 144 -144 152 -152 152 -152 160 -160 160 -160 168 -168 168 -168 176 -176 176 -176 184 -184 184 -184 -144 144 -144 144 -152 152 -152 152 -160 160 -160 160 -168 168 -168 168 -176 176 -176 176 -184 184 -184 184 -144 144 -144 144 -152 152 -152 152 -160 160 -160 160 -168 168 -168 168 -176 176 -176 176 -184 184 -184 184 192 -192 192 -192 200 -200 200 -200 208 -208 208 -208 216 -216 216 -216 224 -224 224 -224 232 -232 232 -232 192 -192 192 -192 200 -200 200 -200 208 -208 208 -208 216 -216 216 -216 224 -224 224 -224 232 -232 232 -232 -192 192 -192 192 -200 200 -200 200 -208 208 -208 208 -216 216 -216 216 -224 224 -224 224 -232 232 -232 232 -192 192 -192 192 -200 200 -200 200 -208 208 -208 208 -216 216 -216 216 -224 224 -224 224 -232 232 -232 232 240 -240 240 -240 248 -248 248 -248 256 -256 256 -256 264 -264 264 -264 272 -272 272 -272 280 -280 280 -280 240 -240 240 -240 248 -248 248 -248 256 -256 256 -256 264 -264 264 -264 272 -272 272 -272 280 -280 280 -280 -240 240 -240 240 -248 248 -248 248 -256 256 -256 256 -264 264 -264 264 -272 272 -272 272 -280 280 -280 280 -240 240 -240 240 -248 248 -248 248 -256 256 -256 256 -264 264 -264 264 -272 272 -272 272 -280 280 -280 280

The highest number in the 24x24 square is 576. Fill in 576 for h and calculate all the numbers. You get the following 24x24 panmagic square.

Panmagic 24x24 square

 7 572 1 574 15 564 9 566 23 556 17 558 31 548 25 550 39 540 33 542 47 532 41 534 2 573 8 571 10 565 16 563 18 557 24 555 26 549 32 547 34 541 40 539 42 533 48 531 576 3 570 5 568 11 562 13 560 19 554 21 552 27 546 29 544 35 538 37 536 43 530 45 569 6 575 4 561 14 567 12 553 22 559 20 545 30 551 28 537 38 543 36 529 46 535 44 55 524 49 526 63 516 57 518 71 508 65 510 79 500 73 502 87 492 81 494 95 484 89 486 50 525 56 523 58 517 64 515 66 509 72 507 74 501 80 499 82 493 88 491 90 485 96 483 528 51 522 53 520 59 514 61 512 67 506 69 504 75 498 77 496 83 490 85 488 91 482 93 521 54 527 52 513 62 519 60 505 70 511 68 497 78 503 76 489 86 495 84 481 94 487 92 103 476 97 478 111 468 105 470 119 460 113 462 127 452 121 454 135 444 129 446 143 436 137 438 98 477 104 475 106 469 112 467 114 461 120 459 122 453 128 451 130 445 136 443 138 437 144 435 480 99 474 101 472 107 466 109 464 115 458 117 456 123 450 125 448 131 442 133 440 139 434 141 473 102 479 100 465 110 471 108 457 118 463 116 449 126 455 124 441 134 447 132 433 142 439 140 151 428 145 430 159 420 153 422 167 412 161 414 175 404 169 406 183 396 177 398 191 388 185 390 146 429 152 427 154 421 160 419 162 413 168 411 170 405 176 403 178 397 184 395 186 389 192 387 432 147 426 149 424 155 418 157 416 163 410 165 408 171 402 173 400 179 394 181 392 187 386 189 425 150 431 148 417 158 423 156 409 166 415 164 401 174 407 172 393 182 399 180 385 190 391 188 199 380 193 382 207 372 201 374 215 364 209 366 223 356 217 358 231 348 225 350 239 340 233 342 194 381 200 379 202 373 208 371 210 365 216 363 218 357 224 355 226 349 232 347 234 341 240 339 384 195 378 197 376 203 370 205 368 211 362 213 360 219 354 221 352 227 346 229 344 235 338 237 377 198 383 196 369 206 375 204 361 214 367 212 353 222 359 220 345 230 351 228 337 238 343 236 247 332 241 334 255 324 249 326 263 316 257 318 271 308 265 310 279 300 273 302 287 292 281 294 242 333 248 331 250 325 256 323 258 317 264 315 266 309 272 307 274 301 280 299 282 293 288 291 336 243 330 245 328 251 322 253 320 259 314 261 312 267 306 269 304 275 298 277 296 283 290 285 329 246 335 244 321 254 327 252 313 262 319 260 305 270 311 268 297 278 303 276 289 286 295 284

This magic square is almost Franklin panmagic. Only not all 2x2 sub-squares give 1/6 of the magic sum (1/6 x 6924 = 1154). If you swap the colours you get the following most perfect (Franklin pan)magic 24x24 square:

Most perfect (Franklin pan)magic 24x24 square

 47 572 1 534 39 564 9 542 31 556 17 550 23 548 25 558 15 540 33 566 7 532 41 574 2 533 48 571 10 541 40 563 18 549 32 555 26 557 24 547 34 565 16 539 42 573 8 531 576 43 530 5 568 35 538 13 560 27 546 21 552 19 554 29 544 11 562 37 536 3 570 45 529 6 575 44 537 14 567 36 545 22 559 28 553 30 551 20 561 38 543 12 569 46 535 4 95 524 49 486 87 516 57 494 79 508 65 502 71 500 73 510 63 492 81 518 55 484 89 526 50 485 96 523 58 493 88 515 66 501 80 507 74 509 72 499 82 517 64 491 90 525 56 483 528 91 482 53 520 83 490 61 512 75 498 69 504 67 506 77 496 59 514 85 488 51 522 93 481 54 527 92 489 62 519 84 497 70 511 76 505 78 503 68 513 86 495 60 521 94 487 52 143 476 97 438 135 468 105 446 127 460 113 454 119 452 121 462 111 444 129 470 103 436 137 478 98 437 144 475 106 445 136 467 114 453 128 459 122 461 120 451 130 469 112 443 138 477 104 435 480 139 434 101 472 131 442 109 464 123 450 117 456 115 458 125 448 107 466 133 440 99 474 141 433 102 479 140 441 110 471 132 449 118 463 124 457 126 455 116 465 134 447 108 473 142 439 100 191 428 145 390 183 420 153 398 175 412 161 406 167 404 169 414 159 396 177 422 151 388 185 430 146 389 192 427 154 397 184 419 162 405 176 411 170 413 168 403 178 421 160 395 186 429 152 387 432 187 386 149 424 179 394 157 416 171 402 165 408 163 410 173 400 155 418 181 392 147 426 189 385 150 431 188 393 158 423 180 401 166 415 172 409 174 407 164 417 182 399 156 425 190 391 148 239 380 193 342 231 372 201 350 223 364 209 358 215 356 217 366 207 348 225 374 199 340 233 382 194 341 240 379 202 349 232 371 210 357 224 363 218 365 216 355 226 373 208 347 234 381 200 339 384 235 338 197 376 227 346 205 368 219 354 213 360 211 362 221 352 203 370 229 344 195 378 237 337 198 383 236 345 206 375 228 353 214 367 220 361 222 359 212 369 230 351 204 377 238 343 196 287 332 241 294 279 324 249 302 271 316 257 310 263 308 265 318 255 300 273 326 247 292 281 334 242 293 288 331 250 301 280 323 258 309 272 315 266 317 264 307 274 325 256 299 282 333 248 291 336 283 290 245 328 275 298 253 320 267 306 261 312 259 314 269 304 251 322 277 296 243 330 285 289 246 335 284 297 254 327 276 305 262 319 268 313 270 311 260 321 278 303 252 329 286 295 244

Use the Khajuraho method to construct magic squares of order is multiple of 4 from 8x8 to infinity. See 8x812x1216x1620x2024x2428x28 and 32x32

It is possible to use each 4x4 panmagic square to construct a 24x24 Franklin panmagic square.

See above how to construct the almost perfect 24x24 Franklin panmagic square (replace the numbers 9 up to 16 of the 4x4 panmagic square by 569 up to 576 to create the first 4x4 sub-square and add each time 8 to the eight low numbers and -/- 8 to the eight high numbers to create the 35 other 4x4 sub-squares).

You must swap half of the numbers to get a perfect 24x24 Franklin panmagic square. Which numbers you must swap and how to swap the numbers, depends on the place of the 1 and the 8 in the 4x4 panmagic square.

 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

Holger Danielsson showed me how to swap numbers in the 16x16, 24x24, 32x32, ... square (see also on his website https://www.magic-squares.info/construction/pandiagonal

5.html).

If the 1 and the 8 are in the same column, than you must swap half of the numbers of sub-square 1/7/13/19/25/31 with 6/12/18/24/30/36, 2/8/14/20/26/32 with 5/11/17/23/29/35 and 3/9/15/22/27/33 with 4/10/16/22/28/34 (= horizontally).

If the 1 and the 8 are in the same row, than you must swap half of the numbers of sub-square 1/2/3/4/5/6/7/8 with 31/32/33/34/35/36, 7/8/9/10/11/12 with 25/26/27/28/29/30 and 13/14/15/16/17/18 with 19/20/21/22/23/24 (= vertically).

Correction sheet 1