### Symmetric transformation (Liki)

Â

Paulus Gerdes introduced the Liki magic square (see http://plus.maths.org/content/new-designs-africa). He showed that it is possible to transform a square with consecutive digits into a magic square by swapping half of the numbers symmetrically. You can use this method to construct magic squares which are a multiple of 4 (= 4x4, 8x8, 12x12, 16x16, ... magic square).

Â

Paulus GerdesÂ constructed the followingÂ symmetric 8x8 magic square:

8x8Â squareÂ with consecutive numbers

Â

 Â Â 232 240 248 256 264 272 280 288 Â Â 260 Â Â Â Â Â Â Â Â 260 36 Â 1 2 3 4 5 6 7 8 Â 100 Â 9 10 11 12 13 14 15 16 Â 164 Â 17 18 19 20 21 22 23 24 Â 228 Â 25 26 27 28 29 30 31 32 Â 292 Â 33 34 35 36 37 38 39 40 Â 356 Â 41 42 43 44 45 46 47 48 Â 420 Â 49 50 51 52 53 54 55 56 Â 484 Â 57 58 59 60 61 62 63 64 Â

Â

Â

Symmetric 8x8 magic square

Â

 Â Â 260 260 260 260 260 260 260 260 Â Â 260 Â Â Â Â Â Â Â Â 260 260 Â 1 63 3 61 60 6 58 8 Â 260 Â 56 55 11 12 13 14 50 49 Â 260 Â 17 18 46 45 44 43 23 24 Â 260 Â 40 26 38 28 29 35 31 33 Â 260 Â 32 34 30 36 37 27 39 25 Â 260 Â 41 42 22 21 20 19 47 48 Â 260 Â 16 15 51 52 53 54 10 9 Â 260 Â 57 7 59 5 4 62 2 64 Â

Â

Â

I usedÂ Paulus'Â method to construct a symmetric 16x16 magicÂ square:
Â

 Â Â 1936 1952 1968 1984 2000 2016 2032 2048 2064 2080 2096 2112 2128 2144 2160 2176 Â Â 2056 Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â 2056 136 Â 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Â 392 Â 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 Â 648 Â 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 Â 904 Â 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 Â 1160 Â 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 Â 1416 Â 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 Â 1672 Â 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 Â 1928 Â 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 Â 2184 Â 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 Â 2440 Â 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 Â 2696 Â 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 Â 2952 Â 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 Â 3208 Â 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 Â 3464 Â 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 Â 3720 Â 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 Â 3976 Â 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â 2056 2056 2056 2056 2056 2056 2056 2056 2056 2056 2056 2056 2056 2056 2056 2056 Â Â 2056 Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â 2056 2056 Â 256 255 3 253 5 6 7 249 248 10 11 12 244 14 242 241 Â 2056 Â 17 18 19 20 236 235 234 233 232 231 230 229 29 30 31 32 Â 2056 Â 224 223 222 221 37 38 39 40 41 42 43 44 212 211 210 209 Â 2056 Â 208 207 206 205 53 54 55 56 57 58 59 60 196 195 194 193 Â 2056 Â 65 66 67 68 188 187 186 185 184 183 182 181 77 78 79 80 Â 2056 Â 176 175 174 84 172 86 87 88 89 90 91 165 93 163 162 161 Â 2056 Â 97 98 99 100 156 155 154 153 152 151 150 149 109 110 111 112 Â 2056 Â 113 114 142 141 117 139 138 120 121 135 134 124 132 131 127 128 Â 2056 Â 129 130 126 125 133 123 122 136 137 119 118 140 116 115 143 144 Â 2056 Â 145 146 147 148 108 107 106 105 104 103 102 101 157 158 159 160 Â 2056 Â 96 95 94 164 92 166 167 168 169 170 171 85 173 83 82 81 Â 2056 Â 177 178 179 180 76 75 74 73 72 71 70 69 189 190 191 192 Â 2056 Â 64 63 62 61 197 198 199 200 201 202 203 204 52 51 50 49 Â 2056 Â 48 47 46 45 213 214 215 216 217 218 219 220 36 35 34 33 Â 2056 Â 225 226 227 228 28 27 26 25 24 23 22 21 237 238 239 240 Â 2056 Â 16 15 243 13 245 246 247 9 8 250 251 252 4 254 2 1 Â

Â

Â

Though it is a beautiful 16x16Â magic square, it isÂ only aÂ simple, symmetric 16x16 magic square.Â If you swap the numbersÂ in the same cells of each 4x4 sub-square, you get aÂ magic 16x16 square with more magic features:

Â
16x16Â square with consecutive numbers

 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256

Â

Â
Symmetric 16x16 magic square

 1 255 254 4 5 251 250 8 9 247 246 12 13 243 242 16 240 18 19 237 236 22 23 233 232 26 27 229 228 30 31 225 224 34 35 221 220 38 39 217 216 42 43 213 212 46 47 209 49 207 206 52 53 203 202 56 57 199 198 60 61 195 194 64 65 191 190 68 69 187 186 72 73 183 182 76 77 179 178 80 176 82 83 173 172 86 87 169 168 90 91 165 164 94 95 161 160 98 99 157 156 102 103 153 152 106 107 149 148 110 111 145 113 143 142 116 117 139 138 120 121 135 134 124 125 131 130 128 129 127 126 132 133 123 122 136 137 119 118 140 141 115 114 144 112 146 147 109 108 150 151 105 104 154 155 101 100 158 159 97 96 162 163 93 92 166 167 89 88 170 171 85 84 174 175 81 177 79 78 180 181 75 74 184 185 71 70 188 189 67 66 192 193 63 62 196 197 59 58 200 201 55 54 204 205 51 50 208 48 210 211 45 44 214 215 41 40 218 219 37 36 222 223 33 32 226 227 29 28 230 231 25 24 234 235 21 20 238 239 17 241 15 14 244 245 11 10 248 249 7 6 252 253 3 2 256

Â

Â
This 16x16 magic squareÂ is not onlyÂ symmetric,Â but eachÂ 1/4 row/column gives 1/4 of the magic sum.

Â

But we can do better. IfÂ you refine the starting position of the consecutive numbers, you can get anÂ ultraÂ magic 16x16 square:

Â

Â

Starting positionÂ 16x16 magic square

 1 2 6 5 10 9 13 14 17 18 22 21 26 25 29 30 3 4 8 7 12 11 15 16 19 20 24 23 28 27 31 32 35 36 40 39 44 43 47 48 51 52 56 55 60 59 63 64 33 34 38 37 42 41 45 46 49 50 54 53 58 57 61 62 67 68 72 71 76 75 79 80 83 84 88 87 92 91 95 96 65 66 70 69 74 73 77 78 81 82 86 85 90 89 93 94 97 98 102 101 106 105 109 110 113 114 118 117 122 121 125 126 99 100 104 103 108 107 111 112 115 116 120 119 124 123 127 128 129 130 134 133 138 137 141 142 145 146 150 149 154 153 157 158 131 132 136 135 140 139 143 144 147 148 152 151 156 155 159 160 163 164 168 167 172 171 175 176 179 180 184 183 188 187 191 192 161 162 166 165 170 169 173 174 177 178 182 181 186 185 189 190 195 196 200 199 204 203 207 208 211 212 216 215 220 219 223 224 193 194 198 197 202 201 205 206 209 210 214 213 218 217 221 222 225 226 230 229 234 233 237 238 241 242 246 245 250 249 253 254 227 228 232