Symmetrische transformatie

 

Paulus Gerdes introduceerde het Liki magisch vierkant (zie http://plus.maths.org/content/ new-designs-africa). Hij toonde dat het mogelijk is om een vierkant met opeenvolgende getallen te transformeren in een magisch vierkant door de helft van de getallen via een symmetrisch patroon om te wisselen. Deze methode werkt voor magische vierkanten die een veelvoud van 4 zijn (4x4, 8x8, 12x12, 16x16, ...).

Paulus Gerdes maakte het volgende symmetrische 8x8 magisch vierkant:


8x8 vierkant met opeenvolgende getallen

 

   

232

240

248

256

264

272

280

288

 
 

260

               

260

36

 

1

2

3

4

5

6

7

8

 

100

 

9

10

11

12

13

14

15

16

 

164

 

17

18

19

20

21

22

23

24

 

228

 

25

26

27

28

29

30

31

32

 

292

 

33

34

35

36

37

38

39

40

 

356

 

41

42

43

44

45

46

47

48

 

420

 

49

50

51

52

53

54

55

56

 

484

 

57

58

59

60

61

62

63

64

 

 

 

Als je de helft van de getallen systematisch vervangt door het inverse getal (= hoogste + laagste getal -/- het getal zelf; bijvoorbeeld de inverse van 29 is 64 + 1 -/- 29 = 36)

 

 

Symmetrisch 8x8 magisch viekant

 

   

260

260

250

260

260

260

260

260

 
 

260

               

260

260

 

1

63

3

61

60

6

58

8

 

260

 

56

55

11

12

13

14

50

49

 

260

 

17

18

46

45

44

43

23

24

 

250

 

40

26

28

28

29

35

31

33

 

260

 

32

34

30

36

37

27

39

25

 

260

 

41

42

22

21

20

19

47

48

 

260

 

16

15

51

52

53

54

10

9

 

260

 

57

7

59

5

4

62

2

64

 

 


Je kunt elk magisch vierkant dat een veelvoud van 4 is in (1x1, 2x2 3x3, 4x4, ...) 4x4 sub-vierkanten splitsen. Als je dezelfde symmetrische omwisseling van getallen in elk 4x4 sub-vierkant toepast, dan kun je een speciaal symmetrisch magisch vierkant maken; zie bijvoorbeeld onderstaand 20x20 magisch vierkant:

 

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180
181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200
201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220
221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240
241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260
261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280
281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300
301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320
321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340
341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360
361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380
381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400

 

 

1 399 398 4 5 395 394 8 9 391 390 12 13 387 386 16 17 383 382 20
380 22 23 377 376 26 27 373 372 30 31 369 368 34 35 365 364 38 39 361
360 42 43 357 356 46 47 353 352 50 51 349 348 54 55 345 344 58 59 341
61 339 338 64 65 335 334 68 69 331 330 72 73 327 326 76 77 323 322 80
81 319 318 84 85 315 314 88 89 311 310 92 93 307 306 96 97 303 302 100
300 102 103 297 296 106 107 293 292 110 111 289 288 114 115 285 284 118 119 281
280 122 123 277 276 126 127 273 272 130 131 269 268 134 135 265 264 138 139 261
141 259 258 144 145 255 254 148 149 251 250 152 153 247 246 156 157 243 242 160
161 239 238 164 165 235 234 168 169 231 230 172 173 227 226 176 177 223 222 180
220 182 183 217 216 186 187 213 212 190 191 209 208 194 195 205 204 198 199 201
200 202 203 197 196 206 207 193 192 210 211 189 188 214 215 185 184 218 219 181
221 179 178 224 225 175 174 228 229 171 170 232 233 167 166 236 237 163 162 240
241 159 158 244 245 155 154 248 249 151 150 252 253 147 146 256 257 143 142 260
140 262 263 137 136 266 267 133 132 270 271 129 128 274 275 125 124 278 279 121
120 282 283 117 116 286 287 113 112 290 291 109 108 294 295 105 104 298 299 101
301 99 98 304 305 95 94 308 309 91 90 312 313 87 86 316 317 83 82 320
321 79 78 324 325 75 74 328 329 71 70 332 333 67 66 336 337 63 62 340
60 342 343 57 56 346 347 53 52 350 351 49 48 354 355 45 44 358 359 41
40 362 363 37 36 366 367 33 32 370 371 29 28 374 375 25 24 378 379 21
381 19 18 384 385 15 14 388 389 11 10 392 393 7 6 396 397 3 2 400

 

 

Het magisch vierkant is niet alleen symmetrisch, maar elke 1/5 rij en elke 1/5 kolom levert 1/5 van de magische som op.

Als je de startpositie van het 20x20 vierkant met opeenvolgende getallen wijzigt, dan is het zelfs mogelijk om een ultra magisch 20x20 vierkant te maken:

 

 

1 2 6 5 9 10 14 13 17 18 22 21 25 26 30 29 33 34 38 37
3 4 8 7 11 12 16 15 19 20 24 23 27 28 32 31 35 36 40 39
43 44 48 47 51 52 56 55 59 60 64 63 67 68 72 71 75 76 80 79
41 42 46 45 49 50 54 53 57 58 62 61 65 66 70 69 73 74 78 77
81 82 86 85 89 90 94 93 97 98 102 101 105 106 110 109 113 114 118 117
83 84 88 87 91 92 96 95 99 100 104 103 107 108 112 111 115 116 120 119
123 124 128 127 131 132 136 135 139 140 144 143 147 148 152 151 155 156 160 159
121 122 126 125 129 130 134 133 137 138 142 141 145 146 150 149 153 154 158 157
161 162 166 165 169 170 174 173 177 178 182 181 185 186 190 189 193 194 198 197
163 164 168 167 171 172 176 175 179 180 184 183 187 188 192 191 195 196 200 199
203 204 208 207 211 212 216 215 219 220 224 223 227 228 232 231 235 236 240 239
201 202 206 205 209 210 214 213 217 218 222 221 225 226 230 229 233 234 238 237
241 242 246 245 249 250 254 253 257 258 262 261 265 266 270 269 273 274 278 277
243 244 248 247 251 252 256 255 259 260 264 263 267 268 272 271 275 276 280 279
283 284 288 287 291 292 296 295 299 300 304 303 307 308 312 311 315 316 320 319
281 282 286 285 289 290 294 293 297 298 302 301 305 306 310 309 313 314 318 317
321 322 326 325 329 330 334 333 337 338 342 341 345 346 350 349 353 354 358 357
323 324 328 327 331 332 336 335 339 340 344 343 347 348 352 351 355 356 360 359
363 364 368 367 371 372 376 375 379 380 384 383 387 388 392 391 395 396 400 399
361 362 366 365 369 370 374 373 377 378 382 381 385 386 390 389 393 394 398 397

 

 

1 399 6 396 9 391 14 388 17 383 22 380 25 375 30 372 33 367 38 364
398 4 393 7 390 12 385 15 382 20 377 23 374 28 369 31 366 36 361 39
43 357 48 354 51 349 56 346 59 341 64 338 67 333 72 330 75 325 80 322
360 42 355 45 352 50 347 53 344 58 339 61 336 66 331 69 328 74 323 77
81 319 86 316 89 311 94 308 97 303 102 300 105 295 110 292 113 287 118 284
318 84 313 87 310 92 305 95 302 100 297 103 294 108 289 111 286 116 281 119
123 277 128 274 131 269 136 266 139 261 144 258 147 253 152 250 155 245 160 242
280 122 275 125 272 130 267 133 264 138 259 141 256 146 251 149 248 154 243 157
161 239 166 236 169 231 174 228 177 223 182 220 185 215 190 212 193 207 198 204
238 164 233 167 230 172 225 175 222 180 217 183 214 188 209 191 206 196 201 199
203 197 208 194 211 189 216 186 219 181 224 178 227 173 232 170 235 165 240 162
200 202 195 205 192 210 187 213 184 218 179 221 176 226 171 229 168 234 163 237
241 159 246 156 249 151 254 148 257 143 262 140 265 135 270 132 273 127 278 124
158 244 153 247 150 252 145 255 142 260 137 263 134 268 129 271 126 276 121 279
283 117 288 114 291 109 296 106 299 101 304 98 307 93 312 90 315 85 320 82
120 282 115 285 112 290 107 293 104 298 99 301 96 306 91 309 88 314 83 317
321 79 326 76 329 71 334 68 337 63 342 60 345 55 350 52 353 47 358 44
78 324 73 327 70 332 65 335 62 340 57 343 54 348 49 351 46 356 41 359
363 37 368 34 371 29 376 26 379 21 384 18 387 13 392 10 395 5 400 2
40 362 35 365 32 370 27 373 24 378 19 381 16 386 11 389 8 394 3 397

 

 

Dit ultra magische 20x20 vierkant is panmagisch, 2x2 compact, kloppend voor 1/5 rijen/kolommen, maar is niet symmetrisch.

 

 

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20x20, Symmetrische transformatie (Liki)
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