### Symmetric transformation (Liki)

Â

Paulus Gerdes introduced the Liki magic square (see http://plus.maths.org/content/new-designs-africa). He showed that it is possible to transform a square with consecutive numbers into a magic square by swapping half of the numbers symmetrically (= replace half of the numbers with the inverse of the numbers). You can use this method to construct magic squares which are a multiple of 4 (= 4x4, 8x8, 12x12, 16x16, ... magic square).

Â

Paulus GerdesÂ constructed the followingÂ symmetric 8x8 magic square:

8x8Â squareÂ with consecutive numbers

Â

 Â Â 232 240 248 256 264 272 280 288 Â Â 260 Â Â Â Â Â Â Â Â 260 36 Â 1 2 3 4 5 6 7 8 Â 100 Â 9 10 11 12 13 14 15 16 Â 164 Â 17 18 19 20 21 22 23 24 Â 228 Â 25 26 27 28 29 30 31 32 Â 292 Â 33 34 35 36 37 38 39 40 Â 356 Â 41 42 43 44 45 46 47 48 Â 420 Â 49 50 51 52 53 54 55 56 Â 484 Â 57 58 59 60 61 62 63 64 Â

Â

Â

Symmetric 8x8 magic square

Â

 Â Â 260 260 250 260 260 260 260 260 Â Â 260 Â Â Â Â Â Â Â Â 260 260 Â 1 63 3 61 60 6 58 8 Â 260 Â 56 55 11 12 13 14 50 49 Â 260 Â 17 18 46 45 44 43 23 24 Â 250 Â 40 26 28 28 29 35 31 33 Â 260 Â 32 34 30 36 37 27 39 25 Â 260 Â 41 42 22 21 20 19 47 48 Â 260 Â 16 15 51 52 53 54 10 9 Â 260 Â 57 7 59 5 4 62 2 64 Â

Â

Â

You can use Paulus' method also to construct a 32x32 magic square. Â If you swap the numbersÂ in the same cells of each 4x4 sub-square, you get aÂ magic 32x32 square with more magic features:

Â

Â

 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775 776 777 778 779 780 781 782 783 784 785 786 787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801 802 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812 813 814 815 816 817 818 819 820 821 822 823 824 825 826 827 828 829 830 831 832 833 834 835 836 837 838 839 840 841 842 843 844 845 846 847 848 849 850 851 852 853 854 855 856 857 858 859 860 861 862 863 864 865 866 867 868 869 870 871 872 873 874 875 876 877 878 879 880 881 882 883 884 885 886 887 888 889 890 891 892 893 894 895 896 897 898 899 900 901 902 903 904 905 906 907 908 909 910 911 912 913 914 915 916 917 918 919 920 921 922 923 924 925 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935 936 937 938 939 940 941 942 943 944 945 946 947 948 949 950 951 952 953 954 955 956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966 967 968 969 970 971 972 973 974 975 976 977 978 979 980 981 982 983 984 985 986 987 988 989 990 991 992 993 994 995 996 997 998 999 1000 1001 1002 1003 1004 1005 1006 1007 1008 1009 1010 1011 1012 1013 1014 1015 1016 1017 1018 1019 1020 1021 1022 1023 1024

Â

Â

 1 1023 1022 4 5 1019 1018 8 9 1015 1014 12 13 1011 1010 16 17 1007 1006 20 21 1003 1002 24 25 999 998 28 29 995 994 32 992 34 35 989 988 38 39 985 984 42 43 981 980 46 47 977 976 50 51 973 972 54 55 969 968 58 59 965 964 62 63 961 960 66 67 957 956 70 71 953 952 74 75 949 948 78 79 945 944 82 83 941 940 86 87 937 936 90 91 933 932 94 95 929 97 927 926 100 101 923 922 104 105 919 918 108 109 915 914 112 113 911 910 116 117 907 906 120 121 903 902 124 125 899 898 128 129 895 894 132 133 891 890 136 137 887 886 140 141 883 882 144 145 879 878 148 149 875 874 152 153 871 870 156 157 867 866 160 864 162 163 861 860 166 167 857 856 170 171 853 852 174 175 849 848 178 179 845 844 182 183 841 840 186 187 837 836 190 191 833 832 194 195 829 828 198 199 825 824 202 203 821 820 206 207 817 816 210 211 813 812 214 215 809 808 218 219 805 804 222 223 801 225 799 798 228 229 795 794 232 233 791 790 236 237 787 786 240 241 783 782 244 245 779 778 248 249 775 774 252 253 771 770 256 257 767 766 260 261 763 762 264 265 759 758 268 269 755 754 272 273 751 750 276 277 747 746 280 281 743 742 284 285 739 738 288 736 290 291 733 732 294 295 729 728 298 299 725 724 302 303 721 720 306 307 717 716 310 311 713 712 314 315 709 708 318 319 705 704 322 323 701 700 326 327 697 696 330 331 693 692 334 335 689 688 338 339 685 684 342 343 681 680 346 347 677 676 350 351 673 353 671 670 356 357 667 666 360 361 663 662 364 365 659 658 368 369 655 654 372 373 651 650 376 377 647 646 380 381 643 642 384 385 639 638 388 389 635 634 392 393 631 630 396 397 627 626 400 401 623 622 404 405 619 618 408 409 615 614 412 413 611 610 416 608 418 419 605 604 422 423 601 600 426 427 597 596 430 431 593 592 434 435 589 588 438 439 585 584 442 443 581 580 446 447 577 576 450 451 573 572 454 455 569 568 458 459 565 564 462 463 561 560 466 467 557 556 470 471 553 552 474 475 549 548 478 479 545 481 543 542 484 485 539 538 488 489 535 534 492 493 531 530 496 497 527 526 500 501 523 522 504 505 519 518 508 509 515 514 512 513 511 510 516 517 507 506 520 521 503 502 524 525 499 498 528 529 495 494 532 533 491 490 536 537 487 486 540 541 483 482 544 480 546 547 477 476 550 551 473 472 554 555 469 468 558 559 465 464 562 563 461 460 566 567 457 456 570 571 453 452 574 575 449 448 578 579 445 444 582 583 441 440 586 587 437 436 590 591 433 432 594 595 429 428 598 599 425 424 602 603 421 420 606 607 417 609 415 414 612 613 411 410 616 617 407 406 620 621 403 402 624 625 399 398 628 629 395 394 632 633 391 390 636 637 387 386 640 641 383 382 644 645 379 378 648 649 375 374 652 653 371 370 656 657 367 366 660 661 363 362