Symmetric transformation (Liki)

 

Paulus Gerdes introduced the Liki magic square (see http://plus.maths.org/content/new-designs-africa). He showed that it is possible to transform a square with consecutive numbers into a magic square by swapping half of the numbers symmetrically (= replace half of the numbers with the inverse of the numbers). You can use this method to construct magic squares which are a multiple of 4 (= 4x4, 8x8, 12x12, 16x16, ... magic square).

 

Paulus Gerdes constructed the following symmetric 8x8 magic square:


8x8 square with consecutive numbers

 

   

232

240

248

256

264

272

280

288

 
 

260

               

260

36

 

1

2

3

4

5

6

7

8

 

100

 

9

10

11

12

13

14

15

16

 

164

 

17

18

19

20

21

22

23

24

 

228

 

25

26

27

28

29

30

31

32

 

292

 

33

34

35

36

37

38

39

40

 

356

 

41

42

43

44

45

46

47

48

 

420

 

49

50

51

52

53

54

55

56

 

484

 

57

58

59

60

61

62

63

64

 

 

 

Symmetric 8x8 magic square

 

   

260

260

250

260

260

260

260

260

 
 

260

               

260

260

 

1

63

3

61

60

6

58

8

 

260

 

56

55

11

12

13

14

50

49

 

260

 

17

18

46

45

44

43

23

24

 

250

 

40

26

28

28

29

35

31

33

 

260

 

32

34

30

36

37

27

39

25

 

260

 

41

42

22

21

20

19

47

48

 

260

 

16

15

51

52

53

54

10

9

 

260

 

57

7

59

5

4

62

2

64

 

 

 

You can use Paulus' method also to construct a 32x32 magic square.  If you swap the numbers in the same cells of each 4x4 sub-square, you get a magic 32x32 square with more magic features:

 

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64
65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128
129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192
193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256
257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288
289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320
321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352
353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384
385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416
417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448
449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480
481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512
513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544
545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576
577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608
609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640
641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672
673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704
705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736
737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768
769 770 771 772 773 774 775 776 777 778 779 780 781 782 783 784 785 786 787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800
801 802 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812 813 814 815 816 817 818 819 820 821 822 823 824 825 826 827 828 829 830 831 832
833 834 835 836 837 838 839 840 841 842 843 844 845 846 847 848 849 850 851 852 853 854 855 856 857 858 859 860 861 862 863 864
865 866 867 868 869 870 871 872 873 874 875 876 877 878 879 880 881 882 883 884 885 886 887 888 889 890 891 892 893 894 895 896
897 898 899 900 901 902 903 904 905 906 907 908 909 910 911 912 913 914 915 916 917 918 919 920 921 922 923 924 925 926 927 928
929 930 931 932 933 934 935 936 937 938 939 940 941 942 943 944 945 946 947 948 949 950 951 952 953 954 955 956 957 958 959 960
961 962 963 964 965 966 967 968 969 970 971 972 973 974 975 976 977 978 979 980 981 982 983 984 985 986 987 988 989 990 991 992
993 994 995 996 997 998 999 1000 1001 1002 1003 1004 1005 1006 1007 1008 1009 1010 1011 1012 1013 1014 1015 1016 1017 1018 1019 1020 1021 1022 1023 1024

 

 

1 1023 1022 4 5 1019 1018 8 9 1015 1014 12 13 1011 1010 16 17 1007 1006 20 21 1003 1002 24 25 999 998 28 29 995 994 32
992 34 35 989 988 38 39 985 984 42 43 981 980 46 47 977 976 50 51 973 972 54 55 969 968 58 59 965 964 62 63 961
960 66 67 957 956 70 71 953 952 74 75 949 948 78 79 945 944 82 83 941 940 86 87 937 936 90 91 933 932 94 95 929
97 927 926 100 101 923 922 104 105 919 918 108 109 915 914 112 113 911 910 116 117 907 906 120 121 903 902 124 125 899 898 128
129 895 894 132 133 891 890 136 137 887 886 140 141 883 882 144 145 879 878 148 149 875 874 152 153 871 870 156 157 867 866 160
864 162 163 861 860 166 167 857 856 170 171 853 852 174 175 849 848 178 179 845 844 182 183 841 840 186 187 837 836 190 191 833
832 194 195 829 828 198 199 825 824 202 203 821 820 206 207 817 816 210 211 813 812 214 215 809 808 218 219 805 804 222 223 801
225 799 798 228 229 795 794 232 233 791 790 236 237 787 786 240 241 783 782 244 245 779 778 248 249 775 774 252 253 771 770 256
257 767 766 260 261 763 762 264 265 759 758 268 269 755 754 272 273 751 750 276 277 747 746 280 281 743 742 284 285 739 738 288
736 290 291 733 732 294 295 729 728 298 299 725 724 302 303 721 720 306 307 717 716 310 311 713 712 314 315 709 708 318 319 705
704 322 323 701 700 326 327 697 696 330 331 693 692 334 335 689 688 338 339 685 684 342 343 681 680 346 347 677 676 350 351 673
353 671 670 356 357 667 666 360 361 663 662 364 365 659 658 368 369 655 654 372 373 651 650 376 377 647 646 380 381 643 642 384
385 639 638 388 389 635 634 392 393 631 630 396 397 627 626 400 401 623 622 404 405 619 618 408 409 615 614 412 413 611 610 416
608 418 419 605 604 422 423 601 600 426 427 597 596 430 431 593 592 434 435 589 588 438 439 585 584 442 443 581 580 446 447 577
576 450 451 573 572 454 455 569 568 458 459 565 564 462 463 561 560 466 467 557 556 470 471 553 552 474 475 549 548 478 479 545
481 543 542 484 485 539 538 488 489 535 534 492 493 531 530 496 497 527 526 500 501 523 522 504 505 519 518 508 509 515 514 512
513 511 510 516 517 507 506 520 521 503 502 524 525 499 498 528 529 495 494 532 533 491 490 536 537 487 486 540 541 483 482 544
480 546 547 477 476 550 551 473 472 554 555 469 468 558 559 465 464 562 563 461 460 566 567 457 456 570 571 453 452 574 575 449
448 578 579 445 444 582 583 441 440 586 587 437 436 590 591 433 432 594 595 429 428 598 599 425 424 602 603 421 420 606 607 417
609 415 414 612 613 411 410 616 617 407 406 620 621 403 402 624 625 399 398 628 629 395 394 632 633 391 390 636 637 387 386 640
641 383 382 644 645 379 378 648 649 375 374 652 653 371 370 656 657 367 366 660 661 363 362 664 665 359 358 668 669 355 354 672
352 674 675 349 348 678 679 345 344 682 683 341 340 686 687 337 336 690 691 333 332 694 695 329 328 698 699 325 324 702 703 321
320 706 707 317 316 710 711 313 312 714 715 309 308 718 719 305 304 722 723 301 300 726 727 297 296 730 731 293 292 734 735 289
737 287 286 740 741 283 282 744 745 279 278 748 749 275 274 752 753 271 270 756 757 267 266 760 761 263 262 764 765 259 258 768
769 255 254 772 773 251 250 776 777 247 246 780 781 243 242 784 785 239 238 788 789 235 234 792 793 231 230 796 797 227 226 800
224 802 803 221 220 806 807 217 216 810 811 213 212 814 815 209 208 818 819 205 204 822 823 201 200 826 827 197 196 830 831 193
192 834 835 189 188 838 839 185 184 842 843 181 180 846 847 177 176 850 851 173 172 854 855 169 168 858 859 165 164 862 863 161
865 159 158 868 869 155 154 872 873 151 150 876 877 147 146 880 881 143 142 884 885 139 138 888 889 135 134 892 893 131 130 896
897 127 126 900 901 123 122 904 905 119 118 908 909 115 114 912 913 111 110 916 917 107 106 920 921 103 102 924 925 99 98 928
96 930 931 93 92 934 935 89 88 938 939 85 84 942 943 81 80 946 947 77 76 950 951 73 72 954 955 69 68 958 959 65
64 962 963 61 60 966 967 57 56 970 971 53 52 974 975 49 48 978 979 45 44 982 983 41 40 986 987 37 36 990 991 33
993 31 30 996 997 27 26 1000 1001 23 22 1004 1005 19 18 1008 1009 15 14 1012 1013 11 10 1016 1017 7 6 1020 1021 3 2 1024

 

 

This 32x32 magic square is not only symmetric, but each 1/8 row/column gives 1/8 of the magic sum.
 
If you change the starting position of the 32x32 square with consecutive numbers, than you can construct an ultra magic 32x32 square:

 

 

1 2 6 5 10 9 13 14 17 18 22 21 26 25 29 30 33 34 38 37 42 41 45 46 49 50 54 53 58 57 61 62
3 4 8 7 12 11 15 16 19 20 24 23 28 27 31 32 35 36 40 39 44 43 47 48 51 52 56 55 60 59 63 64
67 68 72 71 76 75 79 80 83 84 88 87 92 91 95 96 99 100 104 103 108 107 111 112 115 116 120 119 124 123 127 128
65 66 70 69 74 73 77 78 81 82 86 85 90 89 93 94 97 98 102 101 106 105 109 110 113 114 118 117 122 121 125 126
131 132 136 135 140 139 143 144 147 148 152 151 156 155 159 160 163 164 168 167 172 171 175 176 179 180 184 183 188 187 191 192
129 130 134 133 138 137 141 142 145 146 150 149 154 153 157 158 161 162 166 165 170 169 173 174 177 178 182 181 186 185 189 190
193 194 198 197 202 201 205 206 209 210 214 213 218 217 221 222 225 226 230 229 234 233 237 238 241 242 246 245 250 249 253 254
195 196 200 199 204 203 207 208 211 212 216 215 220 219 223 224 227 228 232 231 236 235 239 240 243 244 248 247 252 251 255 256
257 258 262 261 266 265 269 270 273 274 278 277 282 281 285 286 289 290 294 293 298 297 301 302 305 306 310 309 314 313 317 318
259 260 264 263 268 267 271 272 275 276 280 279 284 283 287 288 291 292 296 295 300 299 303 304 307 308 312 311 316 315 319 320
323 324 328 327 332 331 335 336 339 340 344 343 348 347 351 352 355 356 360 359 364 363 367 368 371 372 376 375 380 379 383 384
321 322 326 325 330 329 333 334 337 338 342 341 346 345 349 350 353 354 358 357 362 361 365 366 369 370 374 373 378 377 381 382
387 388 392 391 396 395 399 400 403 404 408 407 412 411 415 416 419 420 424 423 428 427 431 432 435 436 440 439 444 443 447 448
385 386 390 389 394 393 397 398 401 402 406 405 410 409 413 414 417 418 422 421 426 425 429 430 433 434 438 437 442 441 445 446
449 450 454 453 458 457 461 462 465 466 470 469 474 473 477 478 481 482 486 485 490 489 493 494 497 498 502 501 506 505 509 510
451 452 456 455 460 459 463 464 467 468 472 471 476 475 479 480 483 484 488 487 492 491 495 496 499 500 504 503 508 507 511 512
513 514 518 517 522 521 525 526 529 530 534 533 538 537 541 542 545 546 550 549 554 553 557 558 561 562 566 565 570 569 573 574
515 516 520 519 524 523 527 528 531 532 536 535 540 539 543 544 547 548 552 551 556 555 559 560 563 564 568 567 572 571 575 576
579 580 584 583 588 587 591 592 595 596 600 599 604 603 607 608 611 612 616 615 620 619 623 624 627 628 632 631 636 635 639 640
577 578 582 581 586 585 589 590 593 594 598 597 602 601 605 606 609 610 614 613 618 617 621 622 625 626 630 629 634 633 637 638
643 644 648 647 652 651 655 656 659 660 664 663 668 667 671 672 675 676 680 679 684 683 687 688 691 692 696 695 700 699 703 704
641 642 646 645 650 649 653 654 657 658 662 661 666 665 669 670 673 674 678 677 682 681 685 686 689 690 694 693 698 697 701 702
705 706 710 709 714 713 717 718 721 722 726 725 730 729 733 734 737 738 742 741 746 745 749 750 753 754 758 757 762 761 765 766
707 708 712 711 716 715 719 720 723 724 728 727 732 731 735 736 739 740 744 743 748 747 751 752 755 756 760 759 764 763 767 768
769 770 774 773 778 777 781 782 785 786 790 789 794 793 797 798 801 802 806 805 810 809 813 814 817 818 822 821 826 825 829 830
771 772 776 775 780 779 783 784 787 788 792 791 796 795 799 800 803 804 808 807 812 811 815 816 819 820 824 823 828 827 831 832
835 836 840 839 844 843 847 848 851 852 856 855 860 859 863 864 867 868 872 871 876 875 879 880 883 884 888 887 892 891 895 896
833 834 838 837 842 841 845 846 849 850 854 853 858 857 861 862 865 866 870 869 874 873 877 878 881 882 886 885 890 889 893 894
899 900 904 903 908 907 911 912 915 916 920 919 924 923 927 928 931 932 936 935 940 939 943 944 947 948 952 951 956 955 959 960
897 898 902 901 906 905 909 910 913 914 918 917 922 921 925 926 929 930 934 933 938 937 941 942 945 946 950 949 954 953 957 958
961 962 966 965 970 969 973 974 977 978 982 981 986 985 989 990 993 994 998 997 1002 1001 1005 1006 1009 1010 1014 1013 1018 1017 1021 1022
963 964 968 967 972 971 975 976 979 980 984 983 988 987 991 992 995 996 1000 999 1004 1003 1007 1008 1011 1012 1016 1015 1020 1019 1023 1024

 

 

1 1023 6 1020 10 1016 13 1011 17 1007 22 1004 26 1000 29 995 33 991 38 988 42 984 45 979 49 975 54 972 58 968 61 963
1022 4 1017 7 1013 11 1010 16 1006 20 1001 23 997 27 994 32 990 36 985 39 981 43 978 48 974 52 969 55 965 59 962 64
67 957 72 954 76 950 79 945 83 941 88 938 92 934 95 929 99 925 104 922 108 918 111 913 115 909 120 906 124 902 127 897
960 66 955 69 951 73 948 78 944 82 939 85 935 89 932 94 928 98 923 101 919 105 916 110 912 114 907 117 903 121 900 126
131 893 136 890 140 886 143 881 147 877 152 874 156 870 159 865 163 861 168 858 172 854 175 849 179 845 184 842 188 838 191 833
896 130 891 133 887 137 884 142 880 146 875 149 871 153 868 158 864 162 859 165 855 169 852 174 848 178 843 181 839 185 836 190
193 831 198 828 202 824 205 819 209 815 214 812 218 808 221 803 225 799 230 796 234 792 237 787 241 783 246 780 250 776 253 771
830 196 825 199 821 203 818 208 814 212 809 215 805 219 802 224 798 228 793 231 789 235 786 240 782 244 777 247 773 251 770 256
257 767 262 764 266 760 269 755 273 751 278 748 282 744 285 739 289 735 294 732 298 728 301 723 305 719 310 716 314 712 317 707
766 260 761 263 757 267 754 272 750 276 745 279 741 283 738 288 734 292 729 295 725 299 722 304 718 308 713 311 709 315 706 320
323 701 328 698 332 694 335 689 339 685 344 682 348 678 351 673 355 669 360 666 364 662 367 657 371 653 376 650 380 646 383 641
704 322 699 325 695 329 692 334 688 338 683 341 679 345 676 350 672 354 667 357 663 361 660 366 656 370 651 373 647 377 644 382
387 637 392 634 396 630 399 625 403 621 408 618 412 614 415 609 419 605 424 602 428 598 431 593 435 589 440 586 444 582 447 577
640 386 635 389 631 393 628 398 624 402 619 405 615 409 612 414 608 418 603 421 599 425 596 430 592 434 587 437 583 441 580 446
449 575 454 572 458 568 461 563 465 559 470 556 474 552 477 547 481 543 486 540 490 536 493 531 497 527 502 524 506 520 509 515
574 452 569 455 565 459 562 464 558 468 553 471 549 475 546 480 542 484 537 487 533 491 530 496 526 500 521 503 517 507 514 512
513 511 518 508 522 504 525 499 529 495 534 492 538 488 541 483 545 479 550 476 554 472 557 467 561 463 566 460 570 456 573 451
510 516 505 519 501 523 498 528 494 532 489 535 485 539 482 544 478 548 473 551 469 555 466 560 462 564 457 567 453 571 450 576
579 445 584 442 588 438 591 433 595 429 600 426 604 422 607 417 611 413 616 410 620 406 623 401 627 397 632 394 636 390 639 385
448 578 443 581 439 585 436 590 432 594 427 597 423 601 420 606 416 610 411 613 407 617 404 622 400 626 395 629 391 633 388 638
643 381 648 378 652 374 655 369 659 365 664 362 668 358 671 353 675 349 680 346 684 342 687 337 691 333 696 330 700 326 703 321
384 642 379 645 375 649 372 654 368 658 363 661 359 665 356 670 352 674 347 677 343 681 340 686 336 690 331 693 327 697 324 702
705 319 710 316 714 312 717 307 721 303 726 300 730 296 733 291 737 287 742 284 746 280 749 275 753 271 758 268 762 264 765 259
318 708 313 711 309 715 306 720 302 724 297 727 293 731 290 736 286 740 281 743 277 747 274 752 270 756 265 759 261 763 258 768
769 255 774 252 778 248 781 243 785 239 790 236 794 232 797 227 801 223 806 220 810 216 813 211 817 207 822 204 826 200 829 195
254 772 249 775 245 779 242 784 238 788 233 791 229 795 226 800 222 804 217 807 213 811 210 816 206 820 201 823 197 827 194 832
835 189 840 186 844 182 847 177 851 173 856 170 860 166 863 161 867 157 872 154 876 150 879 145 883 141 888 138 892 134 895 129
192 834 187 837 183 841 180 846 176 850 171 853 167 857 164 862 160 866 155 869 151 873 148 878 144 882 139 885 135 889 132 894
899 125 904 122 908 118 911 113 915 109 920 106 924 102 927 97 931 93 936 90 940 86 943 81 947 77 952 74 956 70 959 65
128 898 123 901 119 905 116 910 112 914 107 917 103 921 100 926 96 930 91 933 87 937 84 942 80 946 75 949 71 953 68 958
961 63 966 60 970 56 973 51 977 47 982 44 986 40 989 35 993 31 998 28 1002 24 1005 19 1009 15 1014 12 1018 8 1021 3
62 964 57 967 53 971 50 976 46 980 41 983 37 987 34 992 30 996 25 999 21 1003 18 1008 14 1012 9 1015 5 1019 2 1024

 

 

This ultra magic 32x32 square is panmagic, 2x2 compact, symmetric and each 1/8 row/column gives 1/8 of the magic sum.

 

 

Use this method to construct magic squares of order is multiple of 4 from 4x4 to infinity. See 4x48x812x1216x1620x2024x2428x2832x32

 

Download
32x32, Symmetric transformation (Liki).x
Microsoft Excel werkblad 380.5 KB