Magische eigenschappen (en begrippen)

  

[zuiver]   Een magische vierkant is zuiver als hierin alle gehele getallen van 1 tot en met n x n voorkomen. In een zuiver magisch 3x3 vierkant komen de getallen 1 tot en met (3 x 3 =) 9 voor. Op deze website vind je alleen zuivere magische vierkanten met uitzondering van ‘elke magische som 4x4’, 'elke magische som 5x5' (deze magische vierkanten kloppen voor elk willekeurig gekozen magische som) en magisch verjaardagsvierkant (maak een magisch vierkant van je geboortedatum).

  

[minimale eigenschappen]  Een magisch vierkant moet minimaal bij optelling van de getallen vanuit elke rij, elke kolom en elke (hoofd)diagonaal de magische som opleveren.

  
[magische som] 
Voor elk zuiver magisch vierkant kun je de magische som berekenen. De som is [(1 + n x n) / 2] x n. Bijvoorbeeld de som voor het 3x3 magisch vierkant is: [(1 + 3 x 3) / 2) x 3 = 15.

 

[panmagisch]  Een magisch vierkant is panmagisch, indien ook optelling van de getallen vanuit elke pandiagonaal de magische som oplevert. Een pandiagonaal is een gebroken diagonaal, die uit twee delen bestaat. Het eerste deel is een lijn, die begint vanuit de buitenste rij of kolom (maar niet vanuit een hoekpunt) van het magisch vierkant. Het tweede deel is een lijn of een punt (en de punt eindigt dan in één van de hoeken van het magisch vierkant). Zie bijvoorbeeld de pandiagonalen van het panmagisch 4x4 vierkant.

 

[inverse (ofwel complementair)]  Als je in een magisch vierkant het hoogste getal vervangt door het laagste getal, het op-een-na-hoogste getal vervangt door het op-een-na-laagste getal, enzovoorts, dan krijg je het inverse (ofwel complementaire) magische vierkant. Het inverse magische vierkant heeft precies dezelfde eigenschappen als het origineel. Een bijzondere vorm van inverse (= complementair) is symmetrisch (= zelf complementair). 

 

[symmetrisch (ofwel zelf complementair)]  In een symmetrisch magisch vierkant leveren telkens twee getallen, die in een rechte lijn door het middelpunt - en op dezelfde afstand ten opzichte van het middelpunt - (recht of schuin) tegen over elkaar staan, een zelfde somgetal op. Dit somgetal is 1 + n x n (b.v. voor het 5x5 magisch vierkant is dit somgetal: 1 + 5 x 5 = 26). Het is ook mogelijk dat de symmetrie zich niet in het magisch vierkant als geheel, maar dat de symmetrie zich in elk deelvierkant bevindt (zie basissleutel methode ultra magisch bij orde is veelvoud van 4, vanaf 8x8).

 

N.B.: Indien je de getallen in een symmetrisch (= zelf complementair) magisch vierkant door de inverse (= hoogste i.p.v. laagste, op-een-na-hoogste i.p.v. op-een-na-laagste, ...) getallen vervangt, dan krijg je hetzelfde magische vierkant, maar dan 180 graden (ofwel, op z'n kop) gedraaid.

  

[compact]  Indien een magisch vierkant een veelvoud van 2, 3, 4, 5, 6, 7, … is dan wordt met compact bedoeld dat elk binnen het magisch vierkant willekeurig gekozen 2x2, 3x3, 4x4, 5x5, 6x6, 7x7, … subvierkant, dezelfde (evenredige gedeelte van de) magische som oplevert. Een magisch vierkant kan zelfs dubbel compact zijn. Zo is het ultramagisch 15x15 vierkant op deze website kloppend voor elk 3x3 subvierkant en elk 5x5 subvierkant.

 

N.B.1: Met compact wordt ook wel bedoeld dat alleen de vier hoekpunten van 3x3, 4x4, 5x5, ... eenzelfde somgetal moeten opleveren (op deze website presenteer ik deze eigenschap niet, hoewel sommige oplossingen wellicht wel aan deze eigenschap voldoen).

 

N.B.2: Op deze website staan ook magische vierkanten die AxB compact zijn. Zie bijvoorbeeld het samengestelde 12x12 magisch vierkant, dat 3x4 (en 4x3) compact is.

  

[ultramagisch]  Voor een oneven grootte vanaf 5x5 is ultramagisch het maximaal mogelijke resultaat. Een oneven ultramagisch vierkant is altijd panmagisch en symmetrisch en (indien het vierkant deelbaar is door een ander getal dan één en zichzelf) compact. Indien mogelijk is het ultramagisch vierkant ook kloppend voor een gedeelte van elke rij/kolom/diagonaal. Zo is het ultramagisch 27x27 vierkant op deze website panmagisch, symmetrisch, 3x3 compact en kloppend voor elke 1/9 rij, elke 1/9 kolom en elke 1/3 diagonaal.

 

[Franklin magisch]  Benjamin Franklin heeft 8x8 en 16x16 (semi)magische vierkanten gemaakt, die 2x2 compact en kloppend zijn voor halve rijen en halve kolommen. De Franklin magische vierkanten zijn niet kloppend voor de diagonalen, maar wel kloppend voor de gebogen [parallelle] [gespiegelde] diagonalen. Zie beroemde magische vierkanten.

 

[Franklin panmagisch]  Een Franklin panmagisch vierkant is (uiteraard panmagisch), 2x2 compact en kloppend voor halve rijen/kolommen/diagonalen.

 

N.B.: Een Franklin panmagisch resultaat is mogelijk voor grootte (orde) is veelvoud van 4 vanaf 8x8, met uitzondering van het 12x12 magisch vierkant. Voor grootte is veelvoud van 8 zijn er eenvoudige methodes om het resultaat Franklin panmagisch te krijgen. Echter, voor grootte is oneven veelvoud van 4 vanaf 20x20 is een Franklin panmagisch resultaat niet eenvoudig vanuit EXCEL uit te puzzelen en heb je echt een wiskundige en/of programmeur nodig om het resultaat met behulp van de computer te verkrijgen. 

 

[Compleet]  Een magisch vierkant, waarvan de grootte (orde) een veelvoud van 4 is, is compleet als aan de volgende voorwaarden wordt voldaan. Het magisch vierkant moet ten eerste 2x2 compact en panmagisch zijn. Ten tweede moet in de diagonalen als je deze in twee helften splitst, het eerste getal in de tweede helft van de diagonaal de inverse van het eerste getal in de eerste helft zijn. Hetzelfde moet gelden voor het tweede, derde, enzovoorts getal (zie ook uitleg meest perfect).

 

N.B.: Volgens de beroemde wiskundige Kathleen Ollerenshaw is het compleet magische vierkant ook het meest perfecte magische vierkant. Willem Barink en ik zijn het daar niet mee eens en hanteren onderstaand resultaat als meest perfect.

 

[meest perfect]  Voor grootte is veelvoud van vier is meest perfect magisch het maximaal mogelijke resultaat. Een meest perfect magisch vierkant op deze website bestaat uit (1x1,) 2x2, 3x3, 4x4, 5x5, ...  proportionele panmagische 4x4 (deel)vierkanten, die echter wel goed op elkaar moeten aansluiten, zodat het magische vierkant volledig 2x2 compact is (zie bijvoorbeeld de hiervoor noodzakelijke correcties bij de Khajuraho methode). Deze structuur zorgt ervoor dat het magische vierkant niet alleen panmagisch (en 2x2 compact) is, maar ook kloppend is voor alle deeleigenschappen (dus 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, of ... rijen/kolommen/ diagonalen). Zie ook uitleg meest perfect.

 

N.B.1: Het 8x8 Franklin panmagisch vierkant is volgens bovenstaande definitie tevens meest perfect. Voor grootte is veelvoud van 8 vanaf 16x16 is meest perfect volgens bovenstaande definitie meer dan Franklin panmagisch (want het voldoet aan nog kleinere deeleigenschappen dan halve deel-eigenschappen).

 

N.B.2: Het compleet magische vierkant is een transformatie van het meest perfect magische vierkant (zie uitgelegd in het boek van Arno van den Essen voor het 8x8 magisch vierkant; dit geldt echter voor elke grootte, die een veelvoud van 4 is, vanaf 8x8). Op deze website vind je In alle downloads van meest perfecte magische vierkanten ook de transformatie naar het compleet magische vierkant (is een kwestie van gericht enkele rijen en kolommen omwisselen).

 

[Eigenschap X]  Willem Barink heeft ons geleerd dat een fractie van de meest perfecte magische vierkanten een nog strakkere structuur heeft. Hierbij geldt dat in elke rij en elke kolom getal 1+2 = 5+6 = 9+10 = 13+14, ... & getal 3+4 = 7+8 = 11+12 = 15+16, ...; zie ook uitleg meest perfect.

 

[Het perfecte magische vierkant]  Het perfecte magische vierkant is mogelijk voor grootte (orde) is veelvoud van 4 vanaf 8x8. Dit magische vierkant is niet alleen meest perfect met eigenschap X, maar vanuit de 4x4 deelvierkanten (nog preciezer gezegd de vier 4x4 hoekvierkanten) bezien staan ook nog eens alle getallen in volgorde in het magisch vierkant. Zie bijvoorbeeld het perfecte 16x16 magische vierkant. Dit resultaat is bereikt via samenwerking tussen Willem Barink, Ot Ottenheim en ik, waarbij Ot Ottenheim uiteindelijk het ultieme resultaat heeft gevonden.

 

[concentrisch (ofwel {meervoudig} omrand)]  Het oneven concentrisch magische vierkant bestaat uit een kern van één vakje en het even concentrisch magisch vierkant bestaat uit een kern van 2x2 vakjes, waar tot in het oneindige randen om heen kunnen worden gelegd. Hierdoor ontstaat bijvoorbeeld het concentrische magische 14x14 vierkant, dat is een (telkens evenredig, maar onzuiver) 4x4 in 6x6 in 8x8 in 10x10 in 12x12 in 14x14 vierkant.

 

[Inlegvierkant]  Het enkelvoudige inlegvierkant is een (onzuiver) inlegvierkant binnen een groter (zuiver) magisch vierkant. Een meervoudig inlegvierkant heeft meerdere inlegvierkanten binnen een groter vierkant. Het is mij gelukt om meerdere even en oneven inlegvierkanten binnen een groter even magisch vierkant te krijgen; zie 22x22 meervoudig inlegvierkant.

 

[n-multimagisch vierkant]  Er bestaan 2-mulimagische (= bimagische), 3-multimagische (= trimagische), 4-multimagische (= tetramagische), 5-multimagische (= pentamagische), ... vierkanten. Als je de getallen van het bimagisch vierkant vervangt door de kwadraten dan krijg je wederom een kloppend (onzuiver) magisch vierkant. Zo kun je bij trimagisch de getallen vervangen door kwadraten en derde machten, bij tetramagisch door kwadraten, derde machten en vierde machten, bij pentamagisch door kwadraten, derde machten, vierde machten en vijfde machten, ... Op deze website staat één trimagisch vierkant (= 12x12 trimagisch vierkant uit het boek van Arno van den Essen) en enkele bimagische vierkanten (voor orders 8, 9, 16, 25 en 32). Het is lastiger om n-multimagische vierkanten te doorgronden. Voor het 25x25 bimagisch vierkant is dat wel volledig gelukt.

 

[middelpunt]  Het middelpunt van een oneven magisch vierkant is het middelste vakje (n.b.: in het middelpunt van een oneven symmetrisch of concentrisch magisch vierkant staat altijd het middelste getal; b.v. in het symmetrische 5x5 magische vierkant staat het getal 13 in het middelste vakje). Het middelpunt van een even magisch vierkant is het kruispunt van de middelste vier (2x2) vakjes.

  

[bereik]  Met bereik bedoel ik dat je via een oplossingsmethode één of meer oplossingen kunt krijgen. Het mooiste is natuurlijk een 100% bereik, ofwel dat je met een oplossingsmethode alle mogelijke oplossingen kunt krijgen. Zie bijvoorbeeld de binaire patronen waarmee je alle mogelijke 8x8 Fanklin panmagische (= meest perfecte) vierkanten kunt maken.

 
[priemgetal] 
Een priemgetal is een getal, dat alleen deelbaar is door zichzelf en één.