### Symmetric transformation (Liki)

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Paulus Gerdes introduced the Liki magic square (see http://plus.maths.org/content/new-designs-africa). He showed that it is possible to transform a square with consecutive numbers into a magic square by swapping half of the numbers symmetrically. You can use this method to construct magic squares which are a multiple of 4 (= 4x4, 8x8, 12x12, 16x16, ... magic square).

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Paulus GerdesÂ constructed the followingÂ symmetric 8x8 magic square:

8x8Â squareÂ with consecutive numbers

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 Â Â 232 240 248 256 264 272 280 288 Â Â 260 Â Â Â Â Â Â Â Â 260 36 Â 1 2 3 4 5 6 7 8 Â 100 Â 9 10 11 12 13 14 15 16 Â 164 Â 17 18 19 20 21 22 23 24 Â 228 Â 25 26 27 28 29 30 31 32 Â 292 Â 33 34 35 36 37 38 39 40 Â 356 Â 41 42 43 44 45 46 47 48 Â 420 Â 49 50 51 52 53 54 55 56 Â 484 Â 57 58 59 60 61 62 63 64 Â

Â

Â

Symmetric 8x8 magic square

Â

 Â Â 260 260 250 260 260 260 260 260 Â Â 260 Â Â Â Â Â Â Â Â 260 260 Â 1 63 3 61 60 6 58 8 Â 260 Â 56 55 11 12 13 14 50 49 Â 260 Â 17 18 46 45 44 43 23 24 Â 250 Â 40 26 28 28 29 35 31 33 Â 260 Â 32 34 30 36 37 27 39 25 Â 260 Â 41 42 22 21 20 19 47 48 Â 260 Â 16 15 51 52 53 54 10 9 Â 260 Â 57 7 59 5 4 62 2 64 Â

Â

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You can use Paulus' method also to construct a 28x28 magic square. Â If you swap the numbersÂ in the same cells of each 4x4 sub-square, you get aÂ magic 28x28 square with more magic features:

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 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775 776 777 778 779 780 781 782 783 784

Â

Â

 1 783 782 4 5 779 778 8 9 775 774 12 13 771 770 16 17 767 766 20 21 763 762 24 25 759 758 28 756 30 31 753 752 34 35 749 748 38 39 745 744 42 43 741 740 46 47 737 736 50 51 733 732 54 55 729 728 58 59 725 724 62 63 721 720 66 67 717 716 70 71 713 712 74 75 709 708 78 79 705 704 82 83 701 85 699 698 88 89 695 694 92 93 691 690 96 97 687 686 100 101 683 682 104 105 679 678 108 109 675 674 112 113 671 670 116 117 667 666 120 121 663 662 124 125 659 658 128 129 655 654 132 133 651 650 136 137 647 646 140 644 142 143 641 640 146 147 637 636 150 151 633 632 154 155 629 628 158 159 625 624 162 163 621 620 166 167 617 616 170 171 613 612 174 175 609 608 178 179 605 604 182 183 601 600 186 187 597 596 190 191 593 592 194 195 589 197 587 586 200 201 583 582 204 205 579 578 208 209 575 574 212 213 571 570 216 217 567 566 220 221 563 562 224 225 559 558 228 229 555 554 232 233 551 550 236 237 547 546 240 241 543 542 244 245 539 538 248 249 535 534 252 532 254 255 529 528 258 259 525 524 262 263 521 520 266 267 517 516 270 271 513 512 274 275 509 508 278 279 505 504 282 283 501 500 286 287 497 496 290 291 493 492 294 295 489 488 298 299 485 484 302 303 481 480 306 307 477 309 475 474 312 313 471 470 316 317 467 466 320 321 463 462 324 325 459 458 328 329 455 454 332 333 451 450 336 337 447 446 340 341 443 442 344 345 439 438 348 349 435 434 352 353 431 430 356 357 427 426 360 361 423 422 364 420 366 367 417 416 370 371 413 412 374 375 409 408 378 379 405 404 382 383 401 400 386 387 397 396 390 391 393 392 394 395 389 388 398 399 385 384 402 403 381 380 406 407 377 376 410 411 373 372 414 415 369 368 418 419 365 421 363 362 424 425 359 358 428 429 355 354 432 433 351 350 436 437 347 346 440 441 343 342 444 445 339 338 448 449 335 334 452 453 331 330 456 457 327 326 460 461 323 322 464 465 319 318 468 469 315 314 472 473 311 310 476 308 478 479 305 304 482 483 301 300 486 487 297 296 490 491 293 292 494 495 289 288 498 499 285 284 502 503 281 280 506 507 277 276 510 511 273 272 514 515 269 268 518 519 265 264 522 523 261 260 526 527 257 256 530 531 253 533 251 250 536 537 247 246 540 541 243 242 544 545 239 238 548 549 235 234 552 553 231 230 556 557 227 226 560 561 223 222 564 565 219 218 568 569 215 214 572 573 211 210 576 577 207 206 580 581 203 202 584 585 199 198 588 196 590 591 193 192 594 595 189 188 598 599 185 184 602 603 181 180 606 607 177 176 610 611 173 172 614 615 169 168 618 619 165 164 622 623 161 160 626 627 157 156 630 631 153 152 634 635 149 148 638 639 145 144 642 643 141 645 139 138 648 649 135 134 652 653 131 130 656 657 127 126 660 661 123 122 664 665 119 118 668 669 115 114 672 673 111 110 676 677 107 106 680 681 103 102 684 685 99 98 688 689 95 94 692 693 91 90 696 697 87 86 700 84 702 703 81 80 706 707 77 76 710 711 73 72 714 715 69 68 718 719 65 64 722 723 61 60 726 727 57 56 730 731 53 52 734 735 49 48 738 739 45 44 742 743 41 40 746 747 37 36 750 751 33 32 754 755 29 757 27 26 760 761 23 22 764 765 19 18 768 769 15 14 772 773 11 10 776 777 7 6 780 781 3 2 784

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Â

This 28x28 magic squareÂ is notÂ only symmetric,Â but eachÂ 1/7 row/column givesÂ 1/7Â of theÂ magic sum.
Â
If you changeÂ the starting positionÂ of theÂ 28x28Â square with consecutive numbers,Â than you can construct an ultra magic 28x28 square:

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