8x8 magisch vierkant

Kwadrantmethode, groep 11 t/m 19

 

Algemene toelichting groep 11-19

De groepen vierkanten 10 – 18 zijn opgebouwd uit twee 8x8 basispatronen waarvan de ene bestaat uit H-en/of K-kwadranten (2 maal 8 getallen), en de andere uit A-,B- en C-kwadranten (4 maal 4 getallen). De helft van de homogene 8x8 H-basispatronen (dwz volledig bestaand uit H-kwadranten) heeft de mogelijkheid voor bijpassende homogene A- en C-basispatronen, de andere helft de mogelijkheid voor bijpassende gemengde AC-basispatronen. Analoog geldt voor homogene 8x8 K-basispatronen dat zij (ook fifty-fifty) óf de mogelijkheid hebben voor bijpassende homogene B- en C-basispatronen, óf de mogelijkheid voor bijpassende gemengde BC-basispatronen. Voor gemengde 8x8 HK- of KH-basispatronen geldt iets vergelijkbaars: Zij hebben (ook weer fifty-fifty) óf de mogelijkheid voor passende gemengde AC- en BC-basispatronen, óf de mogelijkheid voor passende ACC*B- of CABC*-basispatronen.

 

 

Toelichting groep 11

De magische vierkanten van groep 11 worden gemaakt door de basis kwadrant patronen H te combineren met de basis kwadrant patronen A.

 

In onderstaand voorbeeld is als rijpatroon gekozen voor H4 in alle vier de kwadranten.

  

 

 H4 (rijpatroon)

0

5

2

7

0

5

2

7

6

3

4

1

6

3

4

1

5

0

7

2

5

0

7

2

3

6

1

4

3

6

1

4

0

5

2

7

0

5

2

7

6

3

4

1

6

3

4

1

5

0

7

2

5

0

7

2

3

6

1

4

3

6

1

4

 

 

Nu maken we het 8x8 patroon voor de kolomcoördinaten. Plaats basis kwadrant patroon A1, A2, of A3 in de linker bovenhoek. In het voorbeeld is gekozen voor A1.

  

 

 A1 (kolompatroon), stap 1

0

7

6

1

 

 

 

 

7

0

1

6

 

 

 

 

1

6

7

0

 

 

 

 

6

1

0

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Voor de 5e rij is alleen de getallencombinatie 1-6-7-0 mogelijk. Hiermee is voor de totale linker onderhoek nog maar één invulling met handhaving van de A-structuur mogelijk:

 

 

 A1 (kolompatroon), stap 2

0

7

6

1

 

 

 

 

7

0

1

6

 

 

 

 

1

6

7

0

 

 

 

 

6

1

0

7

 

 

 

 

1

6

7

0

 

 

 

 

7

0

1

6

 

 

 

 

0

7

6

1

 

 

 

 

6

1

0

7

 

 

 

 

 

 

De rechterhelft van het rijpatroon wordt ingevuld met de getallen 2, 3, 4 en 5. Voor kolom 5 zijn er twee invulmogelijkheden: 4-3-5-2 of 2-5-3-4. In het voorbeeld is gekozen voor 4-3-5-2. Met beide mogelijkheden kun je het rechtsboven kwadrant met handhaving van de A-structuur afmaken. Het rechtsonder kwadrant volgt dan vanzelf en heeft noodzakelijkerwijs ook de A-structuur.

 

  

 A1 (kolompatroon), stap 3

0

7

6

1

4

3

2

5

7

0

1

6

3

4

5

2

1

6

7

0

5

2

3

4

6

1

0

7

2

5

4

3

1

6

7

0

 

 

 

 

6

1

0

7

 

 

 

 

0

7

6

1

 

 

 

 

7

0

1

6

 

 

 

 

 

 

 A1 (kolompatroon), stap 4

0

7

6

1

4

3

2

5

7

0

1

6

3

4

5

2

1

6

7

0

5

2

3

4

6

1

0

7

2

5

4

3

1

6

7

0

5

2

3

4

6

1

0

7

2

5

4

3

0

7

6

1

4

3

2

5

7

0

1

6

3

4

5

2

 

 

In totaal zijn er 3 (namelijk A1 t/m A3) x 2 (zie invulmogelijkheden van stap 3) = 6 verschillende kolompatronen mogelijk.

 

Tenslotte kan vanuit het rij- en kolompatroon het magische vierkant worden gemaakt.

 

 

 1x getal uit rijpatroon +1  +   8x getal uit kolompatroon = meest perfect 8x8 magisch vierkant

0

5

2

7

0

5

2

7

 

 

0

7

6

1

4

3

2

5

 

 

1

62

51

16

33

30

19

48

6

3

4

1

6

3

4

1

 

 

7

0

1

6

3

4

5

2

 

 

63

4

13

50

31

36

45

18

5

0

7

2

5

0

7

2

 

 

1

6

7

0

5

2

3

4

 

 

14

49

64

3

46

17

32

35

3

6

1

4

3

6

1

4

 

 

6

1

0

7

2

5

4

3

 

 

52

15

2

61

20

47

34

29

0

5

2

7

0

5

2

7

 

 

1

6

7

0

5

2

3

4

 

 

9

54

59

8

41

22

27

40

6

3

4

1

6

3

4

1

 

 

6

1

0

7

2

5

4

3

 

 

55

12

5

58

23

44

37

26

5

0

7

2

5

0

7

2

 

 

0

7

6

1

4

3

2

5

 

 

6

57

56

11

38

25

24

43

3

6

1

4

3

6

1

4

 

 

7

0

1

6

3

4

5

2

 

 

60

7

10

53

28

39

42

21

 

 

Het totaal aantal oplossingsmogelijkheden voor groep 11 is: 48 (rijpatronen H) x 6 (kolompatronen x 2 (omwisseling rij- en kolompatronen) = 576. Hiervan hebben 144 magische vierkanten de extra magische eigenschap X.

 


Toelichting groep 12

De magische vierkanten van groep 12 worden gemaakt door de basis kwadrant patronen H te combineren met de gereflecteerde basis kwadrant patronen C.

  

In onderstaand voorbeeld is (evenals bij groep 11) als rijpatroon gekozen voor H4 in alle vier de kwadranten.

   

 

 H4 (rijpatroon)

0

5

2

7

0

5

2

7

6

3

4

1

6

3

4

1

5

0

7

2

5

0

7

2

3

6

1

4

3

6

1

4

0

5

2

7

0

5

2

7

6

3

4

1

6

3

4

1

5

0

7

2

5

0

7

2

3

6

1

4

3

6

1

4

 

 

Nu maken we het 8x8 patroon voor de kolomcoördinaten. Plaats het gereflecteerde basis kwadrant patroon C1*, C3*, of C5* in de linker bovenhoek (n.b.: C2*, C4* en C6* leveren geen bijpassend kolompatroon op). In het voorbeeld is gekozen voor C1*.

  

 

C1* (kolompatroon), stap 1

0

7

6

1

 

 

 

 

6

1

0

7

 

 

 

 

1

6

7

0

 

 

 

 

7

0

1

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Voor de 5e rij is alleen de getallencombinatie 1-6-7-0 mogelijk. Hiermee is voor de totale linker onderhoek nog maar één invulling met handhaving van de C*-structuur mogelijk:

 

   

 C1* (kolompatroon), stap 2

0

7

6

1

 

 

 

 

6

1

0

7

 

 

 

 

1

6

7

0

 

 

 

 

7

0

1

6

 

 

 

 

1

6

7

0

 

 

 

 

7

0

1

6

 

 

 

 

0

7

6

1

 

 

 

 

6

1

0

7

 

 

 

 

 

 

De rechterhelft van het rijpatroon wordt ingevuld met de getallen 2, 3, 4 en 5. Voor kolom 5 zijn er twee invulmogelijkheden: 2-4-3-5 of 4-2-5-3. In het voorbeeld is gekozen voor 2-4-3-5. Met beide mogelijkheden kun je het rechtsboven kwadrant met handhaving van de C*-structuur afmaken. Het rechtsonder kwadrant volgt dan vanzelf en heeft noodzakelijkerwijs ook de C*-structuur.

 

 

 C1* (kolompatroon), stap 3 

0

7

6

1

2

5

4

3

6

1

0

7

4

3

2

5

1

6

7

0

3

4

5

2

7

0

1

6

5

2

3

4

1

6

7

0

 

 

 

 

7

0

1

6

 

 

 

 

0

7

6

1

 

 

 

 

6

1

0

7

 

 

 

 

 

 

 C1* (kolompatroon), stap 4

0

7

6

1

2

5

4

3

6

1

0

7

4

3

2

5

1

6

7

0

3

4

5

2

7

0

1

6

5

2

3

4

1

6

7

0

3

4

5

2

7

0

1

6

5

2

3

4

0

7

6

1

2

5

4

3

6

1

0

7

4

3

2

5

 

 

In totaal zijn er 3 (namelijk C1*, C3* of C5*) x 2 (zie invulmogelijkheden van stap 3) = 6 verschillende kolompatronen mogelijk.

 

Tenslotte kan vanuit het rij- en kolompatroon het magische vierkant worden gemaakt.

  

 

 1x getal uit rijpatroon +1  +   8x getal uit kolompatroon = meest perfect 8x8 magisch vierkant

0

5

2

7

0

5

2

7

 

 

0

7

6

1

2

5

4

3

 

 

1

62

51

16

17

46

35

32

6

3

4

1

6

3

4

1

 

 

6

1

0

7

4

3

2

5

 

 

55

12

5

58

39

28

21

42

5

0

7

2

5

0

7

2

 

 

1

6

7

0

3

4

5

2

 

 

14

49

64

3

30

33

48

19

3

6

1

4

3

6

1

4

 

 

7

0

1

6

5

2

3

4

 

 

60

7

10

53

44

23

26

37

0

5

2

7

0

5

2

7

 

 

1

6

7

0

3

4

5

2

 

 

9

54

59

8

25

38

43

24

6

3

4

1

6

3

4

1

 

 

7

0

1

6

5

2

3

4

 

 

63

4

13

50

47

20

29

34

5

0

7

2

5

0

7

2

 

 

0

7

6

1

2

5

4

3

 

 

6

57

56

11

22

41

40

27

3

6

1

4

3

6

1

4

 

 

6

1

0

7

4

3

2

5

 

 

52

15

2

61

36

31

18

45

 

 

Het totaal aantal oplossingsmogelijkheden voor groep 12 is: 48 (rijpatronen H) x 6 (kolompatronen) x 2 (omwisseling rij- en kolompatronen) = 576. Geen van de vierkanten kan de extra magische eigenschap X hebben.

 

 
 Toelichting groep 13

De magische vierkanten van groep 13 worden gemaakt door de basis kwadrant patronen H te combineren met de gereflecteerde basis kwadrant patronen C en (ongereflecteerd) A.

 

 

 H4 (rijpatroon)

0

5

2

7

2

7

0

5

6

3

4

1

4

1

6

3

5

0

7

2

7

2

5

0

3

6

1

4

1

4

3

6

1

4

3

6

3

6

1

4

2

7

0

5

0

5

2

7

4

1

6

3

6

3

4

1

7

2

5

0

5

0

7

2

 

 

Nu maken we het 8x8 patroon voor de kolomcoördinaten. Plaats het basis kwadrant patroon A1, A2 of A3 in de linker bovenhoek. In het voorbeeld is gekozen voor A1.

 

 

 A1 (kolompatroon), stap 1

0

7

6

1

 

 

 

 

7

0

1

6

 

 

 

 

1

6

7

0

 

 

 

 

6

1

0

7