### Composite, Proportional (1) b

René Chrétien had noticed the 15x15 composite (4) magic square and showed me it is possible to use the method to construct magic squares of even orders as well.

Construct the 20x20 magic square by using 25 proportional 4x4 panmagic squares. The squares are proportional because all 25 panmagic 4x4 squares have the same magic sum of (1/5 x 4010 = ) 802. We use the basic key method (4x4) to produce the panmagic 4x4 squares.  As row coordinates don't use 0 up to 3 but use 0 up to (25x4 -/- 1 = ) 99 instead. Take care that the sum of the row coordinates in each 4x4 square is the same  (0+49+50+99 = 1+48+51+98 = ... = 24+25+74+75 = 198) to get proportional squares.

1x row coordinate        +100x column coordinate + 1 = panmagic 4x4 square

 0 49 50 99 0 3 1 2 1 350 151 300 50 99 0 49 3 0 2 1 351 100 201 150 49 0 99 50 2 1 3 0 250 101 400 51 99 50 49 0 1 2 0 3 200 251 50 301 1 48 51 98 0 3 1 2 2 349 152 299 51 98 1 48 3 0 2 1 352 99 202 149 48 1 98 51 2 1 3 0 249 102 399 52 98 51 48 1 1 2 0 3 199 252 49 302 2 47 52 97 0 3 1 2 3 348 153 298 52 97 2 47 3 0 2 1 353 98 203 148 47 2 97 52 2 1 3 0 248 103 398 53 97 52 47 2 1 2 0 3 198 253 48 303 3 46 53 96 0 3 1 2 4 347 154 297 53 96 3 46 3 0 2 1 354 97 204 147 46 3 96 53 2 1 3 0 247 104 397 54 96 53 46 3 1 2 0 3 197 254 47 304 4 45 54 95 0 3 1 2 5 346 155 296 54 95 4 45 3 0 2 1 355 96 205 146 45 4 95 54 2 1 3 0 246 105 396 55 95 54 45 4 1 2 0 3 196 255 46 305 5 44 55 94 0 3 1 2 6 345 156 295 55 94 5 44 3 0 2 1 356 95 206 145 44 5 94 55 2 1 3 0 245 106 395 56 94 55 44 5 1 2 0 3 195 256 45 306 6 43 56 93 0 3 1 2 7 344 157 294 56 93 6 43 3 0 2 1 357 94 207 144 43 6 93 56 2 1 3 0 244 107 394 57 93 56 43 6 1 2 0 3 194 257 44 307 7 42 57 92 0 3 1 2 8 343 158 293 57 92 7 42 3 0 2 1 358 93 208 143 42 7 92 57 2 1 3 0 243 108 393 58 92 57 42 7 1 2 0 3 193 258 43 308 8 41 58 91 0 3 1 2 9 342 159 292 58 91 8 41 3 0 2 1 359 92 209 142 41 8 91 58 2 1 3 0 242 109 392 59 91 58 41 8 1 2 0 3 192 259 42 309 9 40 59 90 0 3 1 2 10 341 160 291 59 90 9 40 3 0 2 1 360 91 210 141 40 9 90 59 2 1 3 0 241 110 391 60 90 59 40 9 1 2 0 3 191 260 41 310 10 39 60 89 0 3 1 2 11 340 161 290 60 89 10 39 3 0 2 1 361 90 211 140 39 10 89 60 2 1 3 0 240 111 390 61 89 60 39 10 1 2 0 3 190 261 40 311 11 38 61 88 0 3 1 2 12 339 162 289 61 88 11 38 3 0 2 1 362 89 212 139 38 11 88 61 2 1 3 0 239 112 389 62 88 61 38 11 1 2 0 3 189 262 39 312 12 37 62 87 0 3 1 2 13 338 163 288 62 87 12 37 3 0 2 1 363 88 213 138 37 12 87 62 2 1 3 0 238 113 388 63 87 62 37 12 1 2 0 3 188 263 38 313 13 36 63 86 0 3 1 2 14 337 164 287 63 86 13 36 3 0 2 1 364 87 214 137 36 13 86 63 2 1 3 0 237 114 387 64 86 63 36 13 1 2 0 3 187 264 37 314 14 35 64 85 0 3 1 2 15 336 165 286 64 85 14 35 3 0 2 1 365 86 215 136 35 14 85 64 2 1 3 0 236 115 386 65 85 64 35 14 1 2 0 3 186 265 36 315 15 34 65 84 0 3 1 2 16 335 166 285 65 84 15 34 3 0 2 1 366 85 216 135 34 15 84 65 2 1 3 0 235 116 385 66 84 65 34 15 1 2 0 3 185 266 35 316 16 33 66 83 0 3 1 2 17 334 167 284 66 83 16 33 3 0 2 1 367 84 217 134 33 16 83 66 2 1 3 0 234 117 384 67 83 66 33 16 1 2 0 3 184 267 34 317 17 32 67 82 0 3 1 2 18 333 168 283 67 82 17 32 3 0 2 1 368 83 218 133 32 17 82 67 2 1 3 0 233 118 383 68 82 67 32 17 1 2 0 3 183 268 33 318 18 31 68 81 0 3 1 2 19 332 169 282 68 81 18 31 3 0 2 1 369 82 219 132 31 18 81 68 2 1 3 0 232 119 382 69 81 68 31 18 1 2 0 3 182 269 32 319 19 30 69 80 0 3 1 2 20 331 170 281 69 80 19 30 3 0 2 1 370 81 220 131 30 19 80 69 2 1 3 0 231 120 381 70 80 69 30 19 1 2 0 3 181 270 31 320 20 29 70 79 0 3 1 2 21 330 171 280 70 79 20 29 3 0 2 1 371 80 221 130 29 20 79 70 2 1 3 0 230 121 380 71 79 70 29 20 1 2 0 3 180 271 30 321 21 28 71 78 0 3 1 2 22 329 172 279 71 78 21 28 3 0 2 1 372 79 222 129 28 21 78 71 2 1 3 0 229 122 379 72 78 71 28 21 1 2 0 3 179 272 29 322 22 27 72 77 0 3 1 2 23 328 173 278 72 77 22 27 3 0 2 1 373 78 223 128 27 22 77 72 2 1 3 0 228 123 378 73 77 72 27 22 1 2 0 3 178 273 28 323 23 26 73 76 0 3 1 2 24 327 174 277 73 76 23 26 3 0 2 1 374 77 224 127 26 23 76 73 2 1 3 0 227 124 377 74 76 73 26 23 1 2 0 3 177 274 27 324 24 25 74 75 0 3 1 2 25 326 175 276 74 75 24 25 3 0 2 1 375 76 225 126 25 24 75 74 2 1 3 0 226 125 376 75 75 74 25 24 1 2 0 3 176 275 26 325

Put the 25 panmagic 4x4 squares in sequence together

Magic 20x20 square

 1 350 151 300 2 349 152 299 3 348 153 298 4 347 154 297 5 346 155 296 351 100 201 150 352 99 202 149 353 98 203 148 354 97 204 147 355 96 205 146 250 101 400 51 249 102 399 52 248 103 398 53 247 104 397 54 246 105 396 55 200 251 50 301 199 252 49 302 198 253 48 303 197 254 47 304 196 255 46 305 6 345 156 295 7 344 157 294 8 343 158 293 9 342 159 292 10 341 160 291 356 95 206 145 357 94 207 144 358 93 208 143 359 92 209 142 360 91 210 141 245 106 395 56 244 107 394 57 243 108 393 58 242 109 392 59 241 110 391 60 195 256 45 306 194 257 44 307 193 258 43 308 192 259 42 309 191 260 41 310 11 340 161 290 12 339 162 289 13 338 163 288 14 337 164 287 15 336 165 286 361 90 211 140 362 89 212 139 363 88 213 138 364 87 214 137 365 86 215 136 240 111 390 61 239 112 389 62 238 113 388 63 237 114 387 64 236 115 386 65 190 261 40 311 189 262 39 312 188 263 38 313 187 264 37 314 186 265 36 315 16 335 166 285 17 334 167 284 18 333 168 283 19 332 169 282 20 331 170 281 366 85 216 135 367 84 217 134 368 83 218 133 369 82 219 132 370 81 220 131 235 116 385 66 234 117 384 67 233 118 383 68 232 119 382 69 231 120 381 70 185 266 35 316 184 267 34 317 183 268 33 318 182 269 32 319 181 270 31 320 21 330 171 280 22 329 172 279 23 328 173 278 24 327 174 277 25 326 175 276 371 80 221 130 372 79 222 129 373 78 223 128 374 77 224 127 375 76 225 126 230 121 380 71 229 122 379 72 228 123 378 73 227 124 377 74 226 125 376 75 180 271 30 321 179 272 29 322 178 273 28 323 177 274 27 324 176 275 26 325

The 20x20 magic square is not fully 2x2 compact. Use the Khajuraho method (20x20) to swap numbers.

Most perfect 20x20 magic square

 5 350 151 296 4 349 152 297 3 348 153 298 2 347 154 299 1 346 155 300 351 96 205 150 352 97 204 149 353 98 203 148 354 99 202 147 355 100 201 146 250 105 396 51 249 104 397 52 248 103 398 53 247 102 399 54 246 101 400 55 196 251 50 305 197 252 49 304 198 253 48 303 199 254 47 302 200 255 46 301 10 345 156 291 9 344 157 292 8 343 158 293 7 342 159 294 6 341 160 295 356 91 210 145 357 92 209 144 358 93 208 143 359 94 207 142 360 95 206 141 245 110 391 56 244 109 392 57 243 108 393 58 242 107 394 59 241 106 395 60 191 256 45 310 192 257 44 309 193 258 43 308 194 259 42 307 195 260 41 306 15 340 161 286 14 339 162 287 13 338 163 288 12 337 164 289 11 336 165 290 361 86 215 140 362 87 214 139 363 88 213 138 364 89 212 137 365 90 211 136 240 115 386 61 239 114 387 62 238 113 388 63 237 112 389 64 236 111 390 65 186 261 40 315 187 262 39 314 188 263 38 313 189 264 37 312 190 265 36 311 20 335 166 281 19 334 167 282 18 333 168 283 17 332 169 284 16 331 170 285 366 81 220 135 367 82 219 134 368 83 218 133 369 84 217 132 370 85 216 131 235 120 381 66 234 119 382 67 233 118 383 68 232 117 384 69 231 116 385 70 181 266 35 320 182 267 34 319 183 268 33 318 184 269 32 317 185 270 31 316 25 330 171 276 24 329 172 277 23 328 173 278 22 327 174 279 21 326 175 280 371 76 225 130 372 77 224 129 373 78 223 128 374 79 222 127 375 80 221 126 230 125 376 71 229 124 377 72 228 123 378 73 227 122 379 74 226 121 380 75 176 271 30 325 177 272 29 324 178 273 28 323 179 274 27 322 180 275 26 321

This 20x20 magic square is panmagic, (fully) 2x2 compact and each 1/5 row/column/ diagonal gives 1/5 of the magic sum.

I have used composite method, proportional (1) to construct

20x20, Composite, Prop. (1) b.xls