Het idee voor meervoudige inlegvierkanten kreeg ik van de website van Harvey Heinz: www.magic-squares.net/magicsquare.htm#Orders 3, 5, 7, 9 Inlaid en het werk van John Hendricks: www.magic-squares.net/hendricks.htm
Het is mij gelukt om een 12x12 magisch vierkant te maken dat is opgebouwd uit vier 6x6 magische vierkanten met in elk 6x6 magisch vierkant een 4x4 (pan)magisch inlegvierkant. Om tot de oplossing te komen volgde ik de volgende stappen:
[1] De makkelijkste stap is om de vier 4x4 panmagische inlegvierkanten te maken. Neem hiervoor een willekeurig 8x8 meest perfect (Franklin pan)magisch vierkant, tel bij elk getal 40 op en splits het 8x8 vierkant in vier 4x4 (inleg) vierkanten.
Meest magisch 8x8 vierkant + 40 = vier 4x4 inlegvierkanten
1 |
54 |
12 |
63 |
3 |
56 |
10 |
61 |
41 |
94 |
52 |
103 |
43 |
96 |
50 |
101 |
||
16 |
59 |
5 |
50 |
14 |
57 |
7 |
52 |
56 |
99 |
45 |
90 |
54 |
97 |
47 |
92 |
||
53 |
2 |
64 |
11 |
55 |
4 |
62 |
9 |
93 |
42 |
104 |
51 |
95 |
44 |
102 |
49 |
||
60 |
15 |
49 |
6 |
58 |
13 |
51 |
8 |
100 |
55 |
89 |
46 |
98 |
53 |
91 |
48 |
||
17 |
38 |
28 |
47 |
19 |
40 |
26 |
45 |
57 |
78 |
68 |
87 |
59 |
80 |
66 |
85 |
||
32 |
43 |
21 |
34 |
30 |
41 |
23 |
36 |
72 |
83 |
61 |
74 |
70 |
81 |
63 |
76 |
||
37 |
18 |
48 |
27 |
39 |
20 |
46 |
25 |
77 |
58 |
88 |
67 |
79 |
60 |
86 |
65 |
||
44 |
31 |
33 |
22 |
42 |
29 |
35 |
24 |
84 |
71 |
73 |
62 |
82 |
69 |
75 |
64 |
[2] Voor de vier randen zijn (4 x 20 =) 80 getallen nodig. Neem hiervoor de getallen 1 t/m 40 en 105 t/m 144, waarbij de getallen 105 t/m 144 worden vertaald in -/- 1 t/m -/- 40.
[3] Elke zijde van een rand bestaat uit 3 positieve en 3 negatieve getallen, waarbij de som van de 6 getallen precies 0 is. Voor de vier maal vier hoekpunten heb je 16 getallen, ofwel 8 getallen positief/negatief, dubbel nodig. Aangezien een gemiddeld getal (het laagste getal plus het hoogste getal gedeeld door twee: [1+40]/2 =) 20,5 is, moet de som van de 8 dubbele getallen (8 x 20,5 = ) 164 zijn. De som van telkens 3 getallen moet (3 x 20,5 =) 61,5, ofwel afwisselend 61 of 62, zijn. Na ‘enig’ puzzelwerk kreeg ik onderstaande tabel:
+ |
15 |
20 |
26 |
61 |
16 |
21 |
25 |
62 |
17 |
22 |
23 |
62 |
18 |
19 |
24 |
61 |
164 |
|||||
+ |
7 |
28 |
26 |
61 |
5 |
32 |
25 |
62 |
8 |
31 |
23 |
62 |
1 |
36 |
24 |
61 |
||||||
-/- |
15 |
9 |
37 |
61 |
16 |
6 |
40 |
62 |
17 |
10 |
35 |
62 |
18 |
4 |
39 |
61 |
||||||
-/- |
13 |
14 |
34 |
61 |
3 |
29 |
30 |
62 |
2 |
27 |
33 |
62 |
11 |
12 |
38 |
61 |
[4] Maak vanuit de tabel de randen van de vier 6x6 vierkanten (vul de getallen vanuit de tabel in, vul de tegenover gelegen getallen in en vertaal de negatieve getallen -/- 1 t/m -/- 40 in 105 t/m 144).
15 |
20 |
-13 |
-14 |
-34 |
26 |
16 |
21 |
-3 |
-29 |
-30 |
25 |
17 |
22 |
-2 |
-27 |
-33 |
23 |
18 |
19 |
-11 |
-12 |
-38 |
24 |
|||
28 |
32 |
31 |
36 |
|||||||||||||||||||||||
7 |
5 |
8 |
1 |
|||||||||||||||||||||||
-37 |
-40 |
-35 |
-39 |
|||||||||||||||||||||||
-9 |
-6 |
-10 |
-4 |
|||||||||||||||||||||||
-15 |
-16 |
-17 |
-18 |
|||||||||||||||||||||||
15 |
20 |
-13 |
-14 |
-34 |
26 |
16 |
21 |
-3 |
-29 |
-30 |
25 |
17 |
22 |
-2 |
-27 |
-33 |
23 |
18 |
19 |
-11 |
-12 |
-38 |
24 |
|||
-28 |
28 |
-32 |
32 |
-31 |
31 |
-36 |
36 |
|||||||||||||||||||
-7 |
7 |
-5 |
5 |
-8 |
8 |
-1 |
1 |
|||||||||||||||||||
37 |
-37 |
40 |
-40 |
35 |
-35 |
39 |
-39 |
|||||||||||||||||||
9 |
-9 |
6 |
-6 |
10 |
-10 |
4 |
-4 |
|||||||||||||||||||
-26 |
-20 |
13 |
14 |
34 |
-15 |
-25 |
-21 |
3 |
29 |
30 |
-16 |
-23 |
-22 |
2 |
27 |
33 |
-17 |
-24 |
-19 |
11 |
12 |
38 |
-18 |
|||
15 |
20 |
132 |
131 |
111 |
26 |
16 |
21 |
142 |
116 |
115 |
25 |
17 |
22 |
143 |
118 |
112 |
23 |
18 |
19 |
134 |
133 |
107 |
24 |
|||
117 |
28 |
113 |
32 |
114 |
31 |
109 |
36 |
|||||||||||||||||||
138 |
7 |
140 |
5 |
137 |
8 |
144 |
1 |
|||||||||||||||||||
37 |
108 |
40 |
105 |
35 |
110 |
39 |
106 |
|||||||||||||||||||
9 |
136 |
6 |
139 |
10 |
135 |
4 |
141 |
|||||||||||||||||||
119 |
125 |
13 |
14 |
34 |
130 |
120 |
124 |
3 |
29 |
30 |
129 |
122 |
123 |
2 |
27 |
33 |
128 |
121 |
126 |
11 |
12 |
38 |
127 |
[5] Voeg de randen en de 4x4 inlegvierkanten samen.
12x12 vierkant = vier 6x6 vierkanten met 4x4 inleg
15 |
20 |
132 |
131 |
111 |
26 |
16 |
21 |
142 |
116 |
115 |
25 |
117 |
41 |
94 |
52 |
103 |
28 |
113 |
43 |
96 |
50 |
101 |
32 |
138 |
56 |
99 |
45 |
90 |
7 |
140 |
54 |
97 |
47 |
92 |
5 |
37 |
93 |
42 |
104 |
51 |
108 |
40 |
95 |
44 |
102 |
49 |
105 |
9 |
100 |
55 |
89 |
46 |
136 |
6 |
98 |
53 |
91 |
48 |
139 |
119 |
125 |
13 |
14 |
34 |
130 |
120 |
124 |
3 |
29 |
30 |
129 |
17 |
22 |
143 |
118 |
112 |
23 |
18 |
19 |
134 |
133 |
107 |
24 |
114 |
57 |
78 |
68 |
87 |
31 |
109 |
59 |
80 |
66 |
85 |
36 |
137 |
72 |
83 |
61 |
74 |
8 |
144 |
70 |
81 |
63 |
76 |
1 |
35 |
77 |
58 |
88 |
67 |
110 |
39 |
79 |
60 |
86 |
65 |
106 |
10 |
84 |
71 |
73 |
62 |
135 |
4 |
82 |
69 |
75 |
64 |
141 |
122 |
123 |
2 |
27 |
33 |
128 |
121 |
126 |
11 |
12 |
38 |
127 |
De magische som van de vier 4x4 panmagische inlegvierkanten is telkens 290. De magi-sche som van de vier 6x6 magische vierkanten is telkens 435. De magische som van het 12x12 magisch vierkant is 870.
Omdat het 12x12 magisch vierkant is opgebouwd uit vier evenredige 6x6 magische vierkanten, is het 12x12 magisch vierkant niet alleen kloppend voor de hele-, maar ook voor de halve rijen/kolommen/
diagonalen.
Nu nog mooier:
Maar we kunnen het nog mooier maken door het bovenstaande
vierkant te vergroten tot een 14x14 magisch vierkant, en wel als volgt:
[1] We tellen bij elk getal uit het bovenstaande vierkant 26 op;
[2] We maken een rand van 52 getallen (namelijk 1 t/m 26 en 171 t/m 196) om het bovenstaande vierkant.
De som van de getallen 1 t/m 26 is 351. Indien je dit getal verhoogt met 33, dan kom je uit op 384 ofwel 4x96. Voor 33 nemen we de getallen 16 en 17
dubbel. Je krijgt dan bijvoorbeeld de onderstaande tabel:
16 |
17 |
1 |
26 |
2 |
25 |
9 |
96 |
|
16 |
4 |
24 |
5 |
22 |
6 |
19 |
96 |
|
17 |
3 |
23 |
7 |
21 |
10 |
15 |
96 |
|
8 |
11 |
12 |
13 |
14 |
18 |
20 |
96 |
Vervolgens maken we
de rand met behulp van de tabel (waarbij de 26 hoogste getallen 171 t/m 196 zijn vertaald in -/- 1 t/m -/- 26):
16 |
1 |
26 |
2 |
25 |
9 |
-8 |
-11 |
-12 |
-13 |
-14 |
-18 |
-20 |
17 |
3 |
|||||||||||||
23 |
|||||||||||||
7 |
|||||||||||||
21 |
|||||||||||||
10 |
|||||||||||||
15 |
|||||||||||||
-4 |
|||||||||||||
-24 |
|||||||||||||
-5 |
|||||||||||||
-22 |
|||||||||||||
-6 |
|||||||||||||
-19 |
|||||||||||||
-16 |
|||||||||||||
16 |
1 |
26 |
2 |
25 |
9 |
-8 |
-11 |
-12 |
-13 |
-14 |
-18 |
-20 |
17 |
-3 |
3 |
||||||||||||
-23 |
23 |
||||||||||||
-7 |
7 |
||||||||||||
-21 |
21 |
||||||||||||
-10 |
10 |
||||||||||||
-15 |
15 |
||||||||||||
4 |
-4 |
||||||||||||
24 |
-24 |
||||||||||||
5 |
-5 |
||||||||||||
22 |
-22 |
||||||||||||
6 |
-6 |
||||||||||||
19 |
-19 |
||||||||||||
-17 |
-1 |
-26 |
-2 |
-25 |
-9 |
8 |
11 |
12 |
13 |
14 |
18 |
20 |
-16 |
16 |
1 |
26 |
2 |
25 |
9 |
189 |
186 |
185 |
184 |
183 |
179 |
177 |
17 |
194 |
3 |
||||||||||||
174 |
23 |
||||||||||||
190 |
7 |
||||||||||||
176 |
21 |
||||||||||||
187 |
10 |
||||||||||||
182 |
15 |
||||||||||||
4 |
193 |
||||||||||||
24 |
173 |
||||||||||||
5 |
192 |
||||||||||||
22 |
175 |
||||||||||||
6 |
191 |
||||||||||||
19 |
178 |
||||||||||||
180 |
196 |
171 |
195 |
172 |
188 |
8 |
11 |
12 |
13 |
14 |
18 |
20 |
181 |
Het is
dan nog maar een klein kunstje om het 14x14 magisch vierkant compleet te maken.
Magisch 14x14 vierkant (met
inleg 4x4, 6x6 en 12x12)
16 |
1 |
26 |
2 |
25 |
9 |
189 |
186 |
185 |
184 |
183 |
179 |
177 |
17 |
194 |
41 |
46 |
158 |
157 |
137 |
52 |
42 |
47 |
168 |
142 |
141 |
51 |
3 |
174 |
143 |
67 |
120 |
78 |
129 |
54 |
139 |
69 |
122 |
76 |
127 |
58 |
23 |
190 |
164 |
82 |
125 |
71 |
116 |
33 |
166 |
80 |
123 |
|