Shift method (2)

 

It is possible to use the shift method to get a more tight structure of the panmagic 21x21 square.

 

You have to puzzle to get the first row. Construct a 3x7 = 7x3 matrix:

 

 

Matrix 3x7                    =         Matrix 7x3 

1 19 13   33     1 19 13   33
5 16 12   33     5 16 12   33
14 15 4   33     14 15 4   33
20 11 2   33     20 11 2   33
18 7 8   33     18 7 8   33
10 6 17   33     10 6 17   33
9 3 21   33     9 3 21   33
                       
77 77 77         77 77 77    

 

 

The magic sum of 1 up to 21 is 231. In the matrix the sum of each column is (7/21 x 231 =) 77 and the sum of each row is (3/21 x 231 =) 33 is. Put the digits in the first row:

 

 

 First row according to 3x7 matrix

1 17 11 5 21 7 14 13 6 20 12 3 18 4 19 10 2 16 9 8 15

 

 

First row according to matrix 7x3

1 17 11 5 21 7 14 13 6 20 12 3 18 4 19 10 2 16 9 8 15

 

 

Construct row 2 up to 21 of the first grid by shifting the first row each time ([3+7]/2 =) 5 places to the left. The second grid is a reflection (= rotated by a quarter and mirrored) of the first grid.

 

 

Take 21x [digit -/- 1]) from first grid

1 17 11 5 21 7 14 13 6 20 12 3 18 4 19 10 2 16 9 8 15
7 14 13 6 20 12 3 18 4 19 10 2 16 9 8 15 1 17 11 5 21
12 3 18 4 19 10 2 16 9 8 15 1 17 11 5 21 7 14 13 6 20
10 2 16 9 8 15 1 17 11 5 21 7 14 13 6 20 12 3 18 4 19
15 1 17 11 5 21 7 14 13 6 20 12 3 18 4 19 10 2 16 9 8
21 7 14 13 6 20 12 3 18 4 19 10 2 16 9 8 15 1 17 11 5
20 12 3 18 4 19 10 2 16 9 8 15 1 17 11 5 21 7 14 13 6
19 10 2 16 9 8 15 1 17 11 5 21 7 14 13 6 20 12 3 18 4
8 15 1 17 11 5 21 7 14 13 6 20 12 3 18 4 19 10 2 16 9
5 21 7 14 13 6 20 12 3 18 4 19 10 2 16 9 8 15 1 17 11
6 20 12 3 18 4 19 10 2 16 9 8 15 1 17 11 5 21 7 14 13
4 19 10 2 16 9 8 15 1 17 11 5 21 7 14 13 6 20 12 3 18
9 8 15 1 17 11 5 21 7 14 13 6 20 12 3 18 4 19 10 2 16
11 5 21 7 14 13 6 20 12 3 18 4 19 10 2 16 9 8 15 1 17
13 6 20 12 3 18 4 19 10 2 16 9 8 15 1 17 11 5 21 7 14
18 4 19 10 2 16 9 8 15 1 17 11 5 21 7 14 13 6 20 12 3
16 9 8 15 1 17 11 5 21 7 14 13 6 20 12 3 18 4 19 10 2
17 11 5 21 7 14 13 6 20 12 3 18 4 19 10 2 16 9 8 15 1
14 13 6 20 12 3 18 4 19 10 2 16 9 8 15 1 17 11 5 21 7
3 18 4 19 10 2 16 9 8 15 1 17 11 5 21 7 14 13 6 20 12
2 16 9 8 15 1 17 11 5 21 7 14 13 6 20 12 3 18 4 19 10

 

 

+ 1x digit from second grid (= reflection of first grid) 

15 21 20 19 8 5 6 4 9 11 13 18 16 17 14 3 2 1 7 12 10
8 5 6 4 9 11 13 18 16 17 14 3 2 1 7 12 10 15 21 20 19
9 11 13 18 16 17 14 3 2 1 7 12 10 15 21 20 19 8 5 6 4
16 17 14 3 2 1 7 12 10 15 21 20 19 8 5 6 4 9 11 13 18
2 1 7 12 10 15 21 20 19 8 5 6 4 9 11 13 18 16 17 14 3
10 15 21 20 19 8 5 6 4 9 11 13 18 16 17 14 3 2 1 7 12
19 8 5 6 4 9 11 13 18 16 17 14 3 2 1 7 12 10 15 21 20
4 9 11 13 18 16 17 14 3 2 1 7 12 10 15 21 20 19 8 5 6
18 16 17 14 3 2 1 7 12 10 15 21 20 19 8 5 6 4 9 11 13
3 2 1 7 12 10 15 21 20 19 8 5 6 4 9 11 13 18 16 17 14
12 10 15 21 20 19 8 5 6 4 9 11 13 18 16 17 14 3 2 1 7
20 19 8 5 6 4 9 11 13 18 16 17 14 3 2 1 7 12 10 15 21
6 4 9 11 13 18 16 17 14 3 2 1 7 12 10 15 21 20 19 8 5
13 18 16 17 14 3 2 1 7 12 10 15 21 20 19 8 5 6 4 9 11
14 3 2 1 7 12 10 15 21 20 19 8 5 6 4 9 11 13 18 16 17
7 12 10 15 21 20 19 8 5 6 4 9 11 13 18 16 17 14 3 2 1
21 20 19 8 5 6 4 9 11 13 18 16 17 14 3 2 1 7 12 10 15
5 6 4 9 11 13 18 16 17 14 3 2 1 7 12 10 15 21 20 19 8
11 13 18 16 17 14 3 2 1 7 12 10 15 21 20 19 8 5 6 4 9
17 14 3 2 1 7 12 10 15 21 20 19 8 5 6 4 9 11 13 18 16
1 7 12 10 15 21 20 19 8 5 6 4 9 11 13 18 16 17 14 3 2

 

 

 = 21x21 panmagic square

15 357 230 103 428 131 279 256 114 410 244 60 373 80 392 192 23 316 175 159 304
134 278 258 109 408 242 55 375 79 395 203 24 317 169 154 306 10 351 231 104 439
240 53 370 81 394 206 35 318 170 148 301 12 346 225 105 440 145 281 257 111 403
205 38 329 171 149 295 7 348 220 99 441 146 292 260 110 405 235 51 368 76 396
296 1 343 222 94 435 147 293 271 113 404 237 46 366 74 391 207 37 332 182 150
430 141 294 272 124 407 236 48 361 72 389 202 39 331 185 161 297 2 337 217 96
418 239 47 363 67 387 200 34 333 184 164 308 3 338 211 91 432 136 288 273 125
382 198 32 328 186 163 311 14 339 212 85 427 138 283 267 126 419 250 50 362 69
165 310 17 350 213 86 421 133 285 262 120 420 251 61 365 68 384 193 30 326 181
87 422 127 280 264 115 414 252 62 376 71 383 195 25 324 179 160 312 16 353 224
117 409 246 63 377 82 386 194 27 319 177 158 307 18 352 227 98 423 128 274 259
83 397 197 26 321 172 156 305 13 354 226 101 434 129 275 253 112 411 241 57 378
174 151 303 11 349 228 100 437 140 276 254 106 406 243 52 372 84 398 208 29 320
223 102 436 143 287 255 107 400 238 54 367 78 399 209 40 323 173 153 298 9 347
266 108 401 232 49 369 73 393 210 41 334 176 152 300 4 345 221 97 438 142 290
364 75 388 204 42 335 187 155 299 6 340 219 95 433 144 289 269 119 402 233 43
336 188 166 302 5 342 214 93 431 139 291 268 122 413 234 44 358 70 390 199 36
341 216 88 429 137 286 270 121 416 245 45 359 64 385 201 31 330 189 167 313 8
284 265 123 415 248 56 360 65 379 196 33 325 183 168 314 19 344 215 90 424 135
59 371 66 380 190 28 327 178 162 315 20 355 218 89 426 130 282 263 118 417 247
22 322 180 157 309 21 356 229 92 425 132 277 261 116 412 249 58 374 77 381 191

 

 

Use this method to construct magic squares which are an odd multiple of 3, but no multiple of 9 (= 15x15, 21x21, 33x33, 39x39, ... magic squares).

 

 

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