Khajuraho method

 

 

Use the famous Khajuraho 4x4 panmagic square to construct larger magic squares which are a multiple of 4 (= 8x8, 12x12, 16x16, 20x20, … magic square).

 

Rewrite the Khajuraho magic square as follows:

 

 

Khajuraho magic square                Basic magic square 

7

12

1

14

   

7

h-4

1

h-2

2

13

8

11

   

2

h-3

8

h-5

16

3

10

5

   

h

3

h-6

5

9

6

15

4

   

h-7

6

h-1

4

  

 

To construct an 32x32 panmagic square, you need the basic square and 63 extending magic squares:

 

 

7
h-4 1 h-2 8 -8 8 -8 16 -16 16 -16 24 -24 24 -24 32 -32 32 -32 40 -40 40 -40 48 -48 48 -48 56 -56 56 -56
2 h-3 8 h-5 8 -8 8 -8 16 -16 16 -16 24 -24 24 -24 32 -32 32 -32 40 -40 40 -40 48 -48 48 -48 56 -56 56 -56
h 3 h-6 5 -8 8 -8 8 -16 16 -16 16 -24 24 -24 24 -32 32 -32 32 -40 40 -40 40 -48 48 -48 48 -56 56 -56 56
h-7 6 h-1 4 -8 8 -8 8 -16 16 -16 16 -24 24 -24 24 -32 32 -32 32 -40 40 -40 40 -48 48 -48 48 -56 56 -56 56
64 -64 64 -64 72 -72 72 -72 80 -80 80 -80 88 -88 88 -88 96 -96 96 -96 104 -104 104 -104 112 -112 112 -112 120 -120 120 -120
64 -64 64 -64 72 -72 72 -72 80 -80 80 -80 88 -88 88 -88 96 -96 96 -96 104 -104 104 -104 112 -112 112 -112 120 -120 120 -120
-64 64 -64 64 -72 72 -72 72 -80 80 -80 80 -88 88 -88 88 -96 96 -96 96 -104 104 -104 104 -112 112 -112 112 -120 120 -120 120
-64 64 -64 64 -72 72 -72 72 -80 80 -80 80 -88 88 -88 88 -96 96 -96 96 -104 104 -104 104 -112 112 -112 112 -120 120 -120 120
128 -128 128 -128 136 -136 136 -136 144 -144 144 -144 152 -152 152 -152 160 -160 160 -160 168 -168 168 -168 176 -176 176 -176 184 -184 184 -184
128 -128 128 -128 136 -136 136 -136 144 -144 144 -144 152 -152 152 -152 160 -160 160 -160 168 -168 168 -168 176 -176 176 -176 184 -184 184 -184
-128 128 -128 128 -136 136 -136 136 -144 144 -144 144 -152 152 -152 152 -160 160 -160 160 -168 168 -168 168 -176 176 -176 176 -184 184 -184 184
-128 128 -128 128 -136 136 -136 136 -144 144 -144 144 -152 152 -152 152 -160 160 -160 160 -168 168 -168 168 -176 176 -176 176 -184 184 -184 184
192 -192 192 -192 200 -200 200 -200 208 -208 208 -208 216 -216 216 -216 224 -224 224 -224 232 -232 232 -232 240 -240 240 -240 248 -248 248 -248
192 -192 192 -192 200 -200 200 -200 208 -208 208 -208 216 -216 216 -216 224 -224 224 -224 232 -232 232 -232 240 -240 240 -240 248 -248 248 -248
-192 192 -192 192 -200 200 -200 200 -208 208 -208 208 -216 216 -216 216 -224 224 -224 224 -232 232 -232 232 -240 240 -240 240 -248 248 -248 248
-192 192 -192 192 -200 200 -200 200 -208 208 -208 208 -216 216 -216 216 -224 224 -224 224 -232 232 -232 232 -240 240 -240 240 -248 248 -248 248
256 -256 256 -256 264 -264 264 -264 272 -272 272 -272 280 -280 280 -280 288 -288 288 -288 296 -296 296 -296 304 -304 304 -304 312 -312 312 -312
256 -256 256 -256 264 -264 264 -264 272 -272 272 -272 280 -280 280 -280 288 -288 288 -288 296 -296 296 -296 304 -304 304 -304 312 -312 312 -312
-256 256 -256 256 -264 264 -264 264 -272 272 -272 272 -280 280 -280 280 -288 288 -288 288 -296 296 -296 296 -304 304 -304 304 -312 312 -312 312
-256 256 -256 256 -264 264 -264 264 -272 272 -272 272 -280 280 -280 280 -288 288 -288 288 -296 296 -296 296 -304 304 -304 304 -312 312 -312 312
320 -320 320 -320 328 -328 328 -328 336 -336 336 -336 344 -344 344 -344 352 -352 352 -352 360 -360 360 -360 368 -368 368 -368 376 -376 376 -376
320 -320 320 -320 328 -328 328 -328 336 -336 336 -336 344 -344 344 -344 352 -352 352 -352 360 -360 360 -360 368 -368 368 -368 376 -376 376 -376
-320 320 -320 320 -328 328 -328 328 -336 336 -336 336 -344 344 -344 344 -352 352 -352 352 -360 360 -360 360 -368 368 -368 368 -376 376 -376 376
-320 320 -320 320 -328 328 -328 328 -336 336 -336 336 -344 344 -344 344 -352 352 -352 352 -360 360 -360 360 -368 368 -368 368 -376 376 -376 376
384 -384 384 -384 392 -392 392 -392 400 -400 400 -400 408 -408 408 -408 416 -416 416 -416 424 -424 424 -424 432 -432 432 -432 440 -440 440 -440
384 -384 384 -384 392 -392 392 -392 400 -400 400 -400 408 -408 408 -408 416 -416 416 -416 424 -424 424 -424 432 -432 432 -432 440 -440 440 -440
-384 384 -384 384 -392 392 -392 392 -400 400 -400 400 -408 408 -408 408 -416 416 -416 416 -424 424 -424 424 -432 432 -432 432 -440 440 -440 440
-384 384 -384 384 -392 392 -392 392 -400 400 -400 400 -408 408 -408 408 -416 416 -416 416 -424 424 -424 424 -432 432 -432 432 -440 440 -440 440
448 -448 448 -448 456 -456 456 -456 464 -464 464 -464 472 -472 472 -472 480 -480 480 -480 488 -488 488 -488 496 -496 496 -496 504 -504 504 -504
448 -448 448 -448 456 -456 456 -456 464 -464 464 -464 472 -472 472 -472 480 -480 480 -480 488 -488 488 -488 496 -496 496 -496 504 -504 504 -504
-448 448 -448 448 -456 456 -456 456 -464 464 -464 464 -472 472 -472 472 -480 480 -480 480 -488 488 -488 488 -496 496 -496 496 -504 504 -504 504
-448 448 -448 448 -456 456 -456 456 -464 464 -464 464 -472 472 -472 472 -480 480 -480 480 -488 488 -488 488 -496 496 -496 496 -504 504 -504 504

 

 

The highest digit in the 32x32 square is 1024. Fill in 1024 for h and calculate all the digits. You get the following 32x32 panmagic square. 

 

 

 Panmagic 32x32 square 

7 1020 1 1022 15 1012 9 1014 23 1004 17 1006 31 996 25 998 39 988 33 990 47 980 41 982 55 972 49 974 63 964 57 966
2 1021 8 1019 10 1013 16 1011 18 1005 24 1003 26 997 32 995 34 989 40 987 42 981 48 979 50 973 56 971 58 965 64 963
1024 3 1018 5 1016 11 1010 13 1008 19 1002 21 1000 27 994 29 992 35 986 37 984 43 978 45 976 51 970 53 968 59 962 61
1017 6 1023 4 1009 14 1015 12 1001 22 1007 20 993 30 999 28 985 38 991 36 977 46 983 44 969 54 975 52 961 62 967 60
71 956 65 958 79 948 73 950 87 940 81 942 95 932 89 934 103 924 97 926 111 916 105 918 119 908 113 910 127 900 121 902
66 957 72 955 74 949 80 947 82 941 88 939 90 933 96 931 98 925 104 923 106 917 112 915 114 909 120 907 122 901 128 899
960 67 954 69 952 75 946 77 944 83 938 85 936 91 930 93 928 99 922 101 920 107 914 109 912 115 906 117 904 123 898 125
953 70 959 68 945 78 951 76 937 86 943 84 929 94 935 92 921 102 927 100 913 110 919 108 905 118 911 116 897 126 903 124
135 892 129 894 143 884 137 886 151 876 145 878 159 868 153 870 167 860 161 862 175 852 169 854 183 844 177 846 191 836 185 838
130 893 136 891 138 885 144 883 146 877 152 875 154 869 160 867 162 861 168 859 170 853 176 851 178 845 184 843 186 837 192 835
896 131 890 133 888 139 882 141 880 147 874 149 872 155 866 157 864 163 858 165 856 171 850 173 848 179 842 181 840 187 834 189
889 134 895 132 881 142 887 140 873 150 879 148 865 158 871 156 857 166 863 164 849 174 855 172 841 182 847 180 833 190 839 188
199 828 193 830 207 820 201 822 215 812 209 814 223 804 217 806 231 796 225 798 239 788 233 790 247 780 241 782 255 772 249 774
194 829 200 827 202 821 208 819 210 813 216 811 218 805 224 803 226 797 232 795 234 789 240 787 242 781 248 779 250 773 256 771
832 195 826 197 824 203 818 205 816 211 810 213 808 219 802 221 800 227 794 229 792 235 786 237 784 243 778 245 776 251 770 253
825 198 831 196 817 206 823 204 809 214 815 212 801 222 807 220 793 230 799 228 785 238 791 236 777 246 783 244 769 254 775 252
263 764 257 766 271 756 265 758 279 748 273 750 287 740 281 742 295 732 289 734 303 724 297 726 311 716 305 718 319 708 313 710
258 765 264 763 266 757 272 755 274 749 280 747 282 741 288 739 290 733 296 731 298 725 304 723 306 717 312 715 314 709 320 707
768 259 762 261 760 267 754 269 752 275 746 277 744 283 738 285 736 291 730 293 728 299 722 301 720 307 714 309 712 315 706 317
761 262 767 260 753 270 759 268 745 278 751 276 737 286 743 284 729 294 735 292 721 302 727 300 713 310 719 308 705 318 711 316
327 700 321 702 335 692 329 694 343 684 337 686 351 676 345 678 359 668 353 670 367 660 361 662 375 652 369 654 383 644 377 646
322 701 328 699 330 693 336 691 338 685 344 683 346 677 352 675 354 669 360 667 362 661 368 659 370 653 376 651 378 645 384 643
704 323 698 325 696 331 690 333 688 339 682 341 680 347 674 349 672 355 666 357 664 363 658 365 656 371 650 373 648 379 642 381
697 326 703 324 689 334 695 332 681 342 687 340 673 350 679 348 665 358 671 356 657 366 663 364 649 374 655 372 641 382 647 380
391 636 385 638 399 628 393 630 407 620 401 622 415 612 409 614 423 604 417 606 431 596 425 598 439 588 433 590 447 580 441 582
386 637 392 635 394 629 400 627 402 621 408 619 410 613 416 611 418 605 424 603 426 597 432 595 434 589 440 587 442 581 448 579
640 387 634 389 632 395 626 397 624 403 618 405 616 411 610 413 608 419 602 421 600 427 594 429 592 435 586 437 584 443 578 445
633 390 639 388 625 398 631 396 617 406 623 404 609 414 615 412 601 422 607 420 593 430 599 428 585 438 591 436 577 446 583 444
455 572 449 574 463 564 457 566 471 556 465 558 479 548 473 550 487 540 481 542 495 532 489 534 503 524 497 526 511 516 505 518
450 573 456 571 458 565 464 563 466 557 472 555 474 549 480 547 482 541 488 539 490 533 496 531 498 525 504 523 506 517 512 515
576 451 570 453 568 459 562 461 560 467 554 469 552 475 546 477 544 483 538 485 536 491 530 493 528 499 522 501 520 507 514 509
569 454 575 452 561 462 567 460 553 470 559 468 545 478 551 476 537 486 543 484 529 494 535 492 521 502 527 500 513 510 519 508

 

 

This magic square is almost Franklin panmagic, but not all 2x2 sub-squares give 1/8 of the magic sum (1/8 x 16400 = 2050). If you swap the colours you get the following most perfect (Franklin pan)magic 32x32 square:

 

 

Most perfect (Franklin pan)magic 32x32 square

63 1020 1 966 55 1012 9 974 47 1004 17 982 39 996 25 990 31 988 33 998 23 980 41 1006 15 972 49 1014 7 964 57 1022
2 965 64 1019 10 973 56 1011 18 981 48 1003 26 989 40 995 34 997 32 987 42 1005 24 979 50 1013 16 971 58 1021 8 963
1024 59 962 5 1016 51 970 13 1008 43 978 21 1000 35 986 29 992 27 994 37 984 19 1002 45 976 11 1010 53 968 3 1018 61
961 6 1023 60 969 14 1015 52 977 22 1007 44 985 30 999 36 993 38 991 28 1001 46 983 20 1009 54 975 12 1017 62 967 4
127 956 65 902 119 948 73 910 111 940 81 918 103 932 89 926 95 924 97 934 87 916 105 942 79 908 113 950 71 900 121 958
66 901 128 955 74 909 120 947 82 917 112 939 90 925 104 931 98 933 96 923 106 941 88 915 114 949 80 907 122 957 72 899
960 123 898 69 952 115 906 77 944 107 914 85 936 99 922 93 928 91 930 101 920 83 938 109 912 75 946 117 904 67 954 125
897 70 959 124 905 78 951 116 913 86 943 108 921 94 935 100 929 102 927 92 937 110 919 84 945 118 911 76 953 126 903 68
191 892 129 838 183 884 137 846 175 876 145 854 167 868 153 862 159 860 161 870 151 852 169 878 143 844 177 886 135 836 185 894
130 837 192 891 138 845 184 883 146 853 176 875 154 861 168 867 162 869 160 859 170 877 152 851 178 885 144 843 186 893 136 835
896 187 834 133 888 179 842 141 880 171 850 149 872 163 858 157 864 155 866 165 856 147 874 173 848 139 882 181 840 131 890 189
833 134 895 188 841 142 887 180 849 150 879 172 857 158 871 164 865 166 863 156 873 174 855 148 881 182 847 140 889 190 839 132
255 828 193 774 247 820 201 782 239 812 209 790 231 804 217 798 223 796 225 806 215 788 233 814 207 780 241 822 199 772 249 830
194 773 256 827 202 781 248 819 210 789 240 811 218 797 232 803 226 805 224 795 234 813 216 787 242 821 208 779 250 829 200 771
832 251 770 197 824 243 778 205 816 235 786 213 808 227 794 221 800 219 802 229 792 211 810 237 784 203 818 245 776 195 826 253
769 198 831 252 777 206 823 244 785 214 815 236 793 222 807 228 801 230 799 220 809 238 791 212 817 246 783 204 825 254 775 196
319 764 257 710 311 756 265 718 303 748 273 726 295 740 281 734 287 732 289 742 279 724 297 750 271 716 305 758 263 708 313 766
258 709 320 763 266 717