### Symmetric transformation

Paulus Gerdes introduced the Liki magic square (see http://plus.maths.org/content/new-designs-africa). He showed that it is possible to transform a square with consecutive numbers into a magic square by swapping half of the numbers symmetrically. You can use this method to construct magic squares which are a multiple of 4 (= 4x4, 8x8, 12x12, 16x16, ... magic square).

Paulus Gerdes constructed the following symmetric 8x8 magic square:

8x8 square with consecutive numbers

 232 240 248 256 264 272 280 288 260 260 36 1 2 3 4 5 6 7 8 100 9 10 11 12 13 14 15 16 164 17 18 19 20 21 22 23 24 228 25 26 27 28 29 30 31 32 292 33 34 35 36 37 38 39 40 356 41 42 43 44 45 46 47 48 420 49 50 51 52 53 54 55 56 484 57 58 59 60 61 62 63 64

Symmetric 8x8 magic square

 260 260 250 260 260 260 260 260 260 260 260 1 63 3 61 60 6 58 8 260 56 55 11 12 13 14 50 49 260 17 18 46 45 44 43 23 24 250 40 26 28 28 29 35 31 33 260 32 34 30 36 37 27 39 25 260 41 42 22 21 20 19 47 48 260 16 15 51 52 53 54 10 9 260 57 7 59 5 4 62 2 64

You can use Paulus' method also to construct a 20x20 magic square.  If you swap the numbers in the same cells of each 4x4 sub-square, you get a magic 20x20 square with more magic features:

 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400

 1 399 398 4 5 395 394 8 9 391 390 12 13 387 386 16 17 383 382 20 380 22 23 377 376 26 27 373 372 30 31 369 368 34 35 365 364 38 39 361 360 42 43 357 356 46 47 353 352 50 51 349 348 54 55 345 344 58 59 341 61 339 338 64 65 335 334 68 69 331 330 72 73 327 326 76 77 323 322 80 81 319 318 84 85 315 314 88 89 311 310 92 93 307 306 96 97 303 302 100 300 102 103 297 296 106 107 293 292 110 111 289 288 114 115 285 284 118 119 281 280 122 123 277 276 126 127 273 272 130 131 269 268 134 135 265 264 138 139 261 141 259 258 144 145 255 254 148 149 251 250 152 153 247 246 156 157 243 242 160 161 239 238 164 165 235 234 168 169 231 230 172 173 227 226 176 177 223 222 180 220 182 183 217 216 186 187 213 212 190 191 209 208 194 195 205 204 198 199 201 200 202 203 197 196 206 207 193 192 210 211 189 188 214 215 185 184 218 219 181 221 179 178 224 225 175 174 228 229 171 170 232 233 167 166 236 237 163 162 240 241 159 158 244 245 155 154 248 249 151 150 252 253 147 146 256 257 143 142 260 140 262 263 137 136 266 267 133 132 270 271 129 128 274 275 125 124 278 279 121 120 282 283 117 116 286 287 113 112 290 291 109 108 294 295 105 104 298 299 101 301 99 98 304 305 95 94 308 309 91 90 312 313 87 86 316 317 83 82 320 321 79 78 324 325 75 74 328 329 71 70 332 333 67 66 336 337 63 62 340 60 342 343 57 56 346 347 53 52 350 351 49 48 354 355 45 44 358 359 41 40 362 363 37 36 366 367 33 32 370 371 29 28 374 375 25 24 378 379 21 381 19 18 384 385 15 14 388 389 11 10 392 393 7 6 396 397 3 2 400

This 20x20 magic square is not only symmetric, but each 1/5 row/column gives 1/5 of the magic sum.

If you change the starting position of the 20x20 square with consecutive numbers, than you can construct an ultra magic 20x20 square:

 1 2 6 5 9 10 14 13 17 18 22 21 25 26 30 29 33 34 38 37 3 4 8 7 11 12 16 15 19 20 24 23 27 28 32 31 35 36 40 39 43 44 48 47 51 52 56 55 59 60 64 63 67 68 72 71 75 76 80 79 41 42 46 45 49 50 54 53 57 58 62 61 65 66 70 69 73 74 78 77 81 82 86 85 89 90 94 93 97 98 102 101 105 106 110 109 113 114 118 117 83 84 88 87 91 92 96 95 99 100 104 103 107 108 112 111 115 116 120 119 123 124 128 127 131 132 136 135 139 140 144 143 147 148 152 151 155 156 160 159 121 122 126 125 129 130 134 133 137 138 142 141 145 146 150 149 153 154 158 157 161 162 166 165 169 170 174 173 177 178 182 181 185 186 190 189 193 194 198 197 163 164 168 167 171 172 176 175 179 180 184 183 187 188 192 191 195 196 200 199 203 204 208 207 211 212 216 215 219 220 224 223 227 228 232 231 235 236 240 239 201 202 206 205 209 210 214 213 217 218 222 221 225 226 230 229 233 234 238 237 241 242 246 245 249 250 254 253 257 258 262 261 265 266 270 269 273 274 278 277 243 244 248 247 251 252 256 255 259 260 264 263 267 268 272 271 275 276 280 279 283 284 288 287 291 292 296 295 299 300 304 303 307 308 312 311 315 316 320 319 281 282 286 285 289 290 294 293 297 298 302 301 305 306 310 309 313 314 318 317 321 322 326 325 329 330 334 333 337 338 342 341 345 346 350 349 353 354 358 357 323 324 328 327 331 332 336 335 339 340 344 343 347 348 352 351 355 356 360 359 363 364 368 367 371 372 376 375 379 380 384 383 387 388 392 391 395 396 400 399 361 362 366 365 369 370 374 373 377 378 382 381 385 386 390 389 393 394 398 397

 1 399 6 396 9 391 14 388 17 383 22 380 25 375 30 372 33 367 38 364 398 4 393 7 390 12 385 15 382 20 377 23 374 28 369 31 366 36 361 39 43 357 48 354 51 349 56 346 59 341 64 338 67 333 72 330 75 325 80 322 360 42 355 45 352 50 347 53 344 58 339 61 336 66 331 69 328 74 323 77 81 319 86 316 89 311 94 308 97 303 102 300 105 295 110 292 113 287 118 284 318 84 313 87 310 92 305 95 302 100 297 103 294 108 289 111 286 116 281 119 123 277 128 274 131 269 136 266 139 261 144 258 147 253 152 250 155 245 160 242 280 122 275 125 272 130 267 133 264 138 259 141 256 146 251 149 248 154 243 157 161 239 166 236 169 231 174 228 177 223 182 220 185 215 190 212 193 207 198 204 238 164 233 167 230 172 225 175 222 180 217 183 214 188 209 191 206 196 201 199 203 197 208 194 211 189 216 186 219 181 224 178 227 173 232 170 235 165 240 162 200 202 195 205 192 210 187 213 184 218 179 221 176 226 171 229 168 234 163 237 241 159 246 156 249 151 254 148 257 143 262 140 265 135 270 132 273 127 278 124 158 244 153 247 150 252 145 255 142 260 137 263 134 268 129 271 126 276 121 279 283 117 288 114 291 109 296 106 299 101 304 98 307 93 312 90 315 85 320 82 120 282 115 285 112 290 107 293 104 298 99 301 96 306 91 309 88 314 83 317 321 79 326 76 329 71 334 68 337 63 342 60 345 55 350 52 353 47 358 44 78 324 73 327 70 332 65 335 62 340 57 343 54 348 49 351 46 356 41 359 363 37 368 34 371 29 376 26 379 21 384 18 387 13 392 10 395 5 400 2 40 362 35 365 32 370 27 373 24 378 19 381 16 386 11 389 8 394 3 397

This magic 20x20 square is panmagic, 2x2 compact, each 1/5 row/column gives 1/5 of the magic sum, but it is not symmetric.

Use this method to construct magic squares of order is multiple of 4 from 4x4 to infinity. See 4x48x812x1216x1620x2024x2428x2832x32

20x20, Symmetric transformation (Liki).x