Ultra magic 19x19 square

 

The key to construct an ultra magic 19x19 square is 0 - 18 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 16 - 17

 

The second grid is a reflection (rotated by a quarter and mirrored) of the first grid.

 

 

Take 1x digit from the first grid +1

0 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
16 17 0 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
14 15 16 17 0 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
12 13 14 15 16 17 0 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
10 11 12 13 14 15 16 17 0 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 0 18 1 2 3 4 5 6 7
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 0 18 1 2 3 4 5
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 0 18 1 2 3
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 0 18 1
18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 0
17 0 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
15 16 17 0 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
13 14 15 16 17 0 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
11 12 13 14 15 16 17 0 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9 10 11 12 13 14 15 16 17 0 18 1 2 3 4 5 6 7 8
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 0 18 1 2 3 4 5 6
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 0 18 1 2 3 4
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 0 18 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 0 18

 

 

 + 19x digit from second grid (= reflection of first grid)

0 16 14 12 10 8 6 4 2 18 17 15 13 11 9 7 5 3 1
18 17 15 13 11 9 7 5 3 1 0 16 14 12 10 8 6 4 2
1 0 16 14 12 10 8 6 4 2 18 17 15 13 11 9 7 5 3
2 18 17 15 13 11 9 7 5 3 1 0 16 14 12 10 8 6 4
3 1 0 16 14 12 10 8 6 4 2 18 17 15 13 11 9 7 5
4 2 18 17 15 13 11 9 7 5 3 1 0 16 14 12 10 8 6
5 3 1 0 16 14 12 10 8 6 4 2 18 17 15 13 11 9 7
6 4 2 18 17 15 13 11 9 7 5 3 1 0 16 14 12 10 8
7 5 3 1 0 16 14 12 10 8 6 4 2 18 17 15 13 11 9
8 6 4 2 18 17 15 13 11 9 7 5 3 1 0 16 14 12 10
9 7 5 3 1 0 16 14 12 10 8 6 4 2 18 17 15 13 11
10 8 6 4 2 18 17 15 13 11 9 7 5 3 1 0 16 14 12
11 9 7 5 3 1 0 16 14 12 10 8 6 4 2 18 17 15 13
12 10 8 6 4 2 18 17 15 13 11 9 7 5 3 1 0 16 14
13 11 9 7 5 3 1 0 16 14 12 10 8 6 4 2 18 17 15
14 12 10 8 6 4 2 18 17 15 13 11 9 7 5 3 1 0 16
15 13 11 9 7 5 3 1 0 16 14 12 10 8 6 4 2 18 17
16 14 12 10 8 6 4 2 18 17 15 13 11 9 7 5 3 1 0
17 15 13 11 9 7 5 3 1 0 16 14 12 10 8 6 4 2 18

 

 

= Ultra magic 19x19 square

1 323 268 231 194 157 120 83 46 351 333 296 259 222 185 148 111 74 37
359 341 286 266 211 174 137 100 63 26 8 313 276 239 202 165 128 91 54
34 16 321 284 229 209 154 117 80 43 348 330 293 256 219 182 145 108 71
51 356 338 301 264 227 172 152 97 60 23 5 310 273 236 199 162 125 88
68 31 13 318 281 244 207 170 115 95 40 345 327 290 253 216 179 142 105
85 48 353 335 298 261 224 187 150 113 58 38 2 307 270 233 196 159 122
102 65 28 10 315 278 241 204 167 130 93 56 343 342 287 250 213 176 139
119 82 45 350 332 295 258 221 184 147 110 73 36 18 305 285 230 193 156
136 99 62 25 7 312 275 238 201 164 127 90 53 358 340 303 248 228 173
171 116 79 42 347 329 292 255 218 181 144 107 70 33 15 320 283 246 191
189 134 114 59 22 4 309 272 235 198 161 124 87 50 355 337 300 263 226
206 169 132 77 57 344 326 289 252 215 178 141 104 67 30 12 317 280 243
223 186 149 112 75 20 19 306 269 232 195 158 121 84 47 352 334 297 260
240 203 166 129 92 55 360 324 304 249 212 175 138 101 64 27 9 314 277
257 220 183 146 109 72 35 17 322 267 247 192 155 118 81 44 349 331 294
274 237 200 163 126 89 52 357 339 302 265 210 190 135 98 61 24 6 311
291 254 217 180 143 106 69 32 14 319 282 245 208 153 133 78 41 346 328
308 271 234 197 160 123 86 49 354 336 299 262 225 188 151 96 76 21 3
325 288 251 214 177 140 103 66 29 11 316 279 242 205 168 131 94 39 361

 

 

This 19x19 magic square is panmagic and symmetric.

 

Use this method to construct odd magic squares which are no multiple of 3 from 5x5 to infinite (= 5x5, 7x7, 11x11, 13x13, 17x17, ... magic squares).

 

 

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