27x27 magic square

Diagonal method of Yang Hui

 

A ‘trick’ to construct the 27x27 magic square is the diagonal method of Yang Hui:

 

 

                                                    1                                                    
                                                  28   2                                                  
                                                55   29   3                                                
                                              82   56   30   4                                              
                                            109   83   57   31   5                                            
                                          136   110   84   58   32   6                                          
                                        163   137   111   85   59   33   7                                        
                                      190   164   138   112   86   60   34   8                                      
                                    217   191   165   139   113   87   61   35   9                                    
                                  244   218   192   166   140   114   88   62   36   10                                  
                                271   245   219   193   167   141   115   89   63   37   11                                
                              298   272   246   220   194   168   142   116   90   64   38   12                              
                            325   299   273   247   221   195   169   143   117   91   65   39   13                            
                          352   326   300   274   248   222   196   170   144   118   92   66   40   14                          
                        379   353   327   301   275   249   223   197   171   145   119   93   67   41   15                        
                      406   380   354   328   302   276   250   224   198   172   146   120   94   68   42   16                      
                    433   407   381   355   329   303   277   251   225   199   173   147   121   95   69   43   17                    
                  460   434   408   382   356   330   304   278   252   226   200   174   148   122   96   70   44   18                  
                487   461   435   409   383   357   331   305   279   253   227   201   175   149   123   97   71   45   19                
              514   488   462   436   410   384   358   332   306   280   254   228   202   176   150   124   98   72   46   20              
            541   515   489   463   437   411   385   359   333   307   281   255   229   203   177   151   125   99   73   47   21            
          568   542   516   490   464   438   412   386   360   334   308   282   256   230   204   178   152   126   100   74   48   22          
        595   569   543   517   491   465   439   413   387   361   335   309   283   257   231   205   179   153   127   101   75   49   23        
      622   596   570   544   518   492   466   440   414   388   362   336   310   284   258   232   206   180   154   128   102   76   50   24      
    649   623   597   571   545   519   493   467   441   415   389   363   337   311   285   259   233   207   181   155   129   103   77   51   25    
  676   650   624   598   572   546   520   494   468   442   416   390   364   338   312   286   260   234   208   182   156   130   104   78   52   26  
703   677   651   625   599   573   547   521   495   469   443   417   391   365   339   313   287   261   235   209   183   157   131   105   79   53   27
  704   678   652   626   600   574   548   522   496   470   444   418   392   366   340   314   288   262   236   210   184   158   132   106   80   54  
    705   679   653   627   601   575   549   523   497   471   445   419   393   367   341   315   289   263   237   211   185   159   133   107   81    
      706   680   654   628   602   576   550   524   498   472   446   420   394   368   342   316   290   264   238   212   186   160   134   108      
        707   681   655   629   603   577   551   525   499   473   447   421   395   369   343   317   291   265   239   213   187   161   135        
          708   682   656   630   604   578   552   526   500   474   448   422   396   370   344   318   292   266   240   214   188   162          
            709   683   657   631   605   579   553   527   501   475   449   423   397   371   345   319   293   267   241   215   189            
              710   684   658   632   606   580   554   528   502   476   450   424   398   372   346   320   294   268   242   216              
                711   685   659   633   607   581   555   529   503   477   451   425   399   373   347   321   295   269   243                
                  712   686   660   634   608   582   556   530   504   478   452   426   400   374   348   322   296   270                  
                    713   687   661   635   609   583   557   531   505   479   453   427   401   375   349   323   297                    
                      714   688   662   636   610   584   558   532   506   480   454   428   402   376   350   324                      
                        715   689   663   637   611   585   559   533   507   481   455   429   403   377   351                        
                          716   690   664   638   612   586   560   534   508   482   456   430   404   378                          
                            717   691   665   639   613   587   561   535   509   483   457   431   405                            
                              718   692   666   640   614   588   562   536   510   484   458   432                              
                                719   693   667   641   615   589   563   537   511   485   459                                
                                  720   694   668   642   616   590   564   538   512   486                                  
                                    721   695   669   643   617   591   565   539   513                                    
                                      722   696   670   644   618   592   566   540                                      
                                        723   697   671   645   619   593   567                                        
                                          724   698   672   646   620   594                                          
                                            725   699   673   647   621                                            
                                              726   700   674   648                                              
                                                727   701   675                                                
                                                  728   702                                                  
                                                    729                                                    

 

 

                          352 717 326 691 300 665 274 639 248 613 222 587 196 561 170 535 144 509 118 483 92 457 66 431 40 405 14
                          15 353 718 327 692 301 666 275 640 249 614 223 588 197 562 171 536 145 510 119 484 93 458 67 432 41 379
                          380 16 354 719 328 693 302 667 276 641 250 615 224 589 198 563 172 537 146 511 120 485 94 459 68 406 42
                          43 381 17 355 720 329 694 303 668 277 642 251 616 225 590 199 564 173 538 147 512 121 486 95 433 69 407
                          408 44 382 18 356 721 330 695 304 669 278 643 252 617 226 591 200 565 174 539 148 513 122 460 96 434 70
                          71 409 45 383 19 357 722 331 696 305 670 279 644 253 618 227 592 201 566 175 540 149 487 123 461 97 435
                          436 72 410 46 384 20 358 723 332 697 306 671 280 645 254 619 228 593 202 567 176 514 150 488 124 462 98
                          99 437 73 411 47 385 21 359 724 333 698 307 672 281 646 255 620 229 594 203 541 177 515 151 489 125 463
                          464 100 438 74 412 48 386 22 360 725 334 699 308 673 282 647 256 621 230 568 204 542 178 516 152 490 126
                          127 465 101 439 75 413 49 387 23 361 726 335 700 309 674 283 648 257 595 231 569 205 543 179 517 153 491
                          492 128 466 102 440 76 414 50 388 24 362 727 336 701 310 675 284 622 258 596 232 570 206 544 180 518 154
                          155 493 129 467 103 441 77 415 51 389 25 363 728 337 702 311 649 285 623 259 597 233 571 207 545 181 519
                          520 156 494 130 468 104 442 78 416 52 390 26 364 729 338 676 312 650 286 624 260 598 234 572 208 546 182
                          183 521 157 495 131 469 105 443 79 417 53 391 27 365 703 339 677 313 651 287 625 261 599 235 573 209 547
                          548 184 522 158 496 132 470 106 444 80 418 54 392 1 366 704 340 678 314 652 288 626 262 600 236 574 210
                          211 549 185 523 159 497 133 471 107 445 81 419 28 393 2 367 705 341 679 315 653 289 627 263 601 237 575
                          576 212 550 186 524 160 498 134 472 108 446 55 420 29 394 3 368 706 342 680 316 654 290 628 264 602 238
                          239 577 213 551 187 525 161 499 135 473 82 447 56 421 30 395 4 369 707 343 681 317 655 291 629 265 603
                          604 240 578 214 552 188 526 162 500 109 474 83 448 57 422 31 396 5 370 708 344 682 318 656 292 630 266
                          267 605 241 579 215 553 189 527 136 501 110 475 84 449 58 423 32 397 6 371 709 345 683 319 657 293 631
                          632 268 606 242 580 216 554 163 528 137 502 111 476 85 450 59 424 33 398 7 372 710 346 684 320 658 294
                          295 633 269 607 243 581 190 555 164 529 138 503 112 477 86 451 60 425 34 399 8 373 711 347 685 321 659
                          660 296 634 270 608 217 582 191 556 165 530 139 504 113 478 87 452 61 426 35 400 9 374 712 348 686 322
                          323 661 297 635 244 609 218 583 192 557 166 531 140 505 114 479 88 453 62 427 36 401 10 375 713 349 687
                          688 324 662 271 636 245 610 219 584 193 558 167 532 141 506 115 480 89 454 63 428 37 402 11 376 714 350
                          351 689 298 663 272 637 246 611 220 585 194 559 168 533 142 507 116 481 90 455 64 429 38 403 12 377 715
                          716 325 690 299 664 273 638 247 612 221 586 195 560 169 534 143 508 117 482 91 456 65 430 39 404 13 378

 

 

You can use this method to construct magic squares of odd order from 3x3 to infinite and you get symmetric (but not pan)magic squares.

 

See 3x3, 5x5, 7x7, 9x9, 11x11, 13x13, 15x15, 17x17, 19x19, 21x21, 23x23, 25x25, 27x27,  29x29 and 31x31

 

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27x27, Diagonal method of Yang Hui.xls
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27x27 magic square