Magische eigenschappen

 

Een hyperkubus is een kubus die uit meer dan drie dimensies bestaat. Huh?

Een magisch vierkant ligt op een plat vlak en is tweedimensionaal. De magische kubus is driedimensionaal. Maar wat is dan vierdimensionaal? Zie hieronder een vierdimensionale (hyper)kubus (bron: http://mathworld.wolfram.com/MagicTesseract.html).

 


MagicTesseract_700

 

Zoals hierboven getoond bestaat een vierdimensionale (in dit geval 3x3x3x3) kubus (n.b.: een 4D-kubus wordt ook wel tesseract genoemd) uit (drie) kubussen (rood, blauw en groen) die als het ware over elkaar heen zijn gelegd. Hierdoor ontstaat als extra magische eigenschap naast de rijen en kolommen (= tweedimensionaal), de pilaren (= driedimensi-onaal), de zuilen (= vierdimensionaal). Ook zijn er ruimtelijke diagonalen, maar die zijn nu vier- (in plaats van drie-) dimensionaal. Het kijkt allemaal wat makkelijker als we de drie kubussen van de tesseract (in plaats van over elkaar heen) naast elkaar zetten.

 

 

T1, laag I

 

 

T2, laag I

 

 

T3, laag I

a1

b1

c1

 

 

a1

b1

c1

 

 

a1

b1

c1

a2

b2

c2

 

 

a2

b2

c2

 

 

a2

b2

c2

a3

b3

c3

 

 

a3

b3

c3

 

 

a3

b3

c3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T1, laag II

 

 

T2, laag II

 

 

T3, laag II

a1

b1

c1

 

 

a1

b1

c1

 

 

a1

b1

c1

a2

b2

c2

 

 

a2

b2

c2

 

 

a2

b2

c2

a3

b3

c3

 

 

a3

b3

c3

 

 

a3

b3

c3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T1, laag III

 

 

T2, laag III

 

 

T3, laag III

a1

b1

c1

 

 

a1

b1

c1

 

 

a1

b1

c1

a2

b2

c2

 

 

a2

b2

c2

 

 

a2

b2

c2

a3

b3

c3

 

 

a3

b3

c3

 

 

a3

b3

c3

 

 

Simpel magische kubus (minimale magische eigenschappen):

  • Kloppend voor rijen (27x): a1 + b1 + c1 = a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3
  • Kloppend voor kolommen (27x): a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3 = c1 + c2 + c3
  • Kloppend voor pilaren (81x): I a1+IIa1+IIIa1=Ia2+IIa2+IIIa2= ... = Ic3+IIc3+III c3
  • Kloppend voor zuilen (81x): T1 Ia1+T2 Ia1+T3 Ia1= ... =T1 IIIc3+T2 IIIc3+T3 III c3
  • 4dimensionale diagonalen (8x): Telkens 2 vakjes met dezelfde kleur plus het middelpunt (b2).

 

Magische kubus, pandiagonaal in lagen (extra magische eigenschap):

  • alle (pan)diagonalen in alle lagen geven magische som: a1+b2+c3=c1+b2+a3=b1+c2+a3=c1+a2+a3=c2+b3+a1=c3+b1+a2

 

Diagonaal magische kubus (extra magische eigenschappen):

  • Alle diagonalen in lagen geven magische som: a1 + b2 + c3 = c1 + b2 + a3
  • Alle diagonalen door lagen heen geven magische som:                        Ia/b/c1+IIa/b/c2+IIa/b/c3 = Ia1/2/3+IIb1/2/3+IIIc1/2/3

 

Pandiagonaal magische kubus (extra magische eigenschappen):

  • Alle (pan)diagonalen in alle lagen geven de magische som: a1+b2+c3=c1+b2+a3=b1+c2+a3=c1+a2+a3=c2+b3+a1=c3+b1+a2
  • Alle diagonalen door lagen heen geven in 2 richtingen de magische som: Ia/b/c1+IIa/b/c2+IIIa/b/c3=Ia1/2/3+IIb1/2/3+IIIc1/2/3 of T1a/b/c1+T2a/b/c2+T3a/b/c3=T1a1/2/3+T2b1/2/3+T3c1/2/3
  • Alle pandiagonalen door lagen heen geven in 2 richtingen de magische som: Ia/b/c2+IIa/b/c3+IIIa/b/c1=Ib1/2/3+IIc1/2/3+IIIa1/2/3 of T1a/b/c2+T2a/b/c3+T3a/b/c1=T1b1/2/3+T2c1/2/3+T3a1/2/3

 

Pantriagonaal magische kubus (extra magische eigenschap):

  • Alle (pan)triagonalen door de lagen heen geven in 2 richtingen de magische som: b.v. Ia1+IIb2+IIIc3=Ic2+IIb3+IIIa1 of T1a1+T2b2+T3c3=T1c2+T2b3+T3a1

 

Panquadragonaal magische kubus (extra magische eigenschap):

  • Alle (pan)quadragonalen door de kubussen geven magische som:                            b.v. T1 Ia1+T2 IIb2+T3 IIIc3=T2 Ic2+T3 IIb3+T1 IIIa1

Een vierdimensionale magische kubus (= tesseract) kan ook een combinatie van bovengenoemde eigenschappen hebben. De perfecte magische tesseract is pandiago-naal, pantriagonaal en panquadragonaal magisch. De kleinst mogelijke perfecte tesseract is een 16x16x16x16 tesseract.