Beroemde magische vierkanten

 

Lo Shu

Het oudst bekende magische vierkant is de Lo Shu en dateert van 2800 voor Christus. Het magisch 3x3 vierkant kreeg haar naam Lo Shu (dat “boek van de rivier de Lo” betekent) door een legende.

 

8

1

6

3

5

7

4

9

2

 

 

Khajuraho

Het eerste zuiver magische vierkant van orde vier verscheen rond 1100 als een inscriptie in het beroemde tempelcomplex te Khajuraho in centraal India.

 

  

 7

12

 1

14

 2

13

 8

11

16

 3

10

 5

 9

 6

15

 4

 

Eerste bijzondere eigenschap van dit magisch vierkant is dat ook de som van de getallen op alle zogenaamde gebroken diagonalen (b.v. 16+13+1+4=34) de magische som van 34 oplevert. Zulke vierkanten heten pan(diagonaal) magisch en worden ook wel duivelse vierkanten genoemd.

 

Tweede bijzondere eigenschap van dit magisch vierkant is dat een willekeurig 2 x 2 deelvierkant in het vierkant (b.v. 2+13+16+3=34) de magische som van 34 oplevert.

 

Bovengenoemde eigenschappen van het Khajurahovierkant zorgen ervoor dat je een zogenaamd magisch tapijt kunt maken door een willekeurig aantal vierkanten naast en onder elkaar te leggen. Dit magische tapijt heeft de volgende eigenschappen:

 

(1e) ieder willekeurig (uit het tapijt) gekozen 4 x 4 deelvierkant is zuiver magisch;

(2e) ieder willekeurig (uit het tapijt) gekozen 2 x 2 deelvierkant levert de magische som op.

 

 

Dürer

In 1514 publiceerde de Duitse renaissancekunstenaar/wiskundige Albrecht Dürer (1471-1528) via de gravure Melancholia het volgende (symmetrische) 4x4 magisch vierkant:

  

16

 3

 2

13

  5

10

11

  8

  9

  6

  7

12

  4

15

14

  1

 

Als je de 4 en de 1 vervangt door het 4e respectievelijk 1e letter van het alfabet, dan krijg je op de laatste regel D1514A, te weten de initialen van Albrecht Dürer plus het jaartal, waarin hij het magisch vierkant heeft gepubliceerd. Als je de letters van ALBRECHT DURER vervangt door hun rangnummers in het alfabet en deze getallen optelt, dan is de uitkomst 135. Tel hierbij 1 (het symbool van God; de 1 is ook groter dan de andere getallen in de gravure weergegeven) op en je krijgt 136 en dat is precies de som van alle getallen 1 t./m 16 in het magische vierkant!!!

 

 

Euler

Een Latijns vierkant van de orde n is een n bij n vierkant met daarin precies n verschillen-de getallen. Deze getallen moeten bovendien zo gerangschikt zijn dat in iedere rij en iedere kolom al deze n verschillende getallen precies één keer voorkomen. Even simpel uitgelegd: een Latijns vierkant van orde 9 is een compleet ingevulde (9 bij 9) Sudoku (alleen dan met de getallen 0 t/m 8 i.p.v. 1 t/m 9).

 

De beroemde wiskundige Leonhard Euler (geboren op 15 april 1707 te Bazel) heeft het volgende gevonden: Men neme twee Latijnse vierkanten van de zelfde orde (n). Deze vierkanten (laten we ze N en M noemen) moeten als extra eigenschap hebben dat op hun diagonalen ook de getallen 0, 1, …, n-1 precies één keer voorkomen. Vorm het volgende vierkant V = n x N + M. Dit nieuwe vierkant is altijd magisch (maar voldoet echter meestal niet aan de voorwaarde van verschillende gehele getallen).

 

 

Sator Arepo

Een Latijns vierkant behoeft overigens niet altijd uit getallen te bestaan. Zie hieronder het beroemde 2000 jaar oude “magisch” vierkant genaamd de Sator Arepo.

  

 

 S

A

 T

 O

R

 A

R

 E

 P

O

 T

E

 N

 E

T

 O

P

 E

 R

A

 R

O

 T

 A

S

 

 

De Latijnse zin “SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS” (die zoiets als “De zaaier Arepo houdt de wereld draaiende” betekent) is een palindroom. Dat wil zeggen dat je dezelfde zin krijgt als je hem van voren naar achteren leest. Ook het vierkant zelf kun je op verschillende manieren lezen, van onder naar boven, van links naar rechts, enzovoorts.

 

 

Franklin

Benjamin Franklin werd op 17 januari 1706 in Boston geboren als zoon van een kaarsen-maker. Op twaalfjarige leeftijd ging Franklin in de leer als drukker. Na zo’n achttien jaar had hij het geschopt tot uitgever van een succesvol dagblad. Omdat Franklin op dertig-jarige leeftijd een vermogend man was geworden, besloot hij zich met wetenschap bezig te gaan houden. Naast praktische wetenschap (zo heeft Franklin bijvoorbeeld de bliksem-afleider uitgedacht) hield Franklin zich ook bezig met magische vierkanten. Deze vierkan-ten hebben bijzondere eigenschappen die inmiddels bekend staan als de Franklin eigen-schappen. Zie ter voorbeeld onderstaand Franklins zuiver magisch vierkant van orde acht (waarvan de magische som 260 is).

  

 

52

61

 4

13

20

29

36

45

14 

 3

62

51

46

35

30

19

53

60

 5

12

21

28

37

44

11

 6

59

54

43

38

27

22

55

58

 7

10

23

26

39

42

 9

 8

57

56

41

40

25

24

50

63

 2

15

18

31

34

47

16

 1

64

49

48

33

32

17

 

  

Franklin’s magisch vierkant heeft de volgende bijzondere eigenschappen:

 

  1. De som van de getallen in iedere halve rij en halve kolom is gelijk aan 130, oftewel de helft van de magische som.

  2. De som van de getallen op ieder van de vier gebogen diagonalen en ieder van de vier parallelle gebogen diagonalen (zie onder) is gelijk aan 260, oftewel de magische som.

  

x

 

 

 

0

 

 

 

 

x

 

 

 

0

 

 

 

 

x

 

 

 

0

 

 

 

 

x

 

 

 

0

 

 

 

x

 

 

 

0

 

 

x

 

 

 

0

 

 

x

 

 

 

0

 

 

x

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

x

 

 

0

 

 

 

x

 

 

0

 

 

 

x

 

 

0

 

 

 

x

 

 

 

0

 

 

 

x

 

 

 

 

0

 

 

 

x

 

 

 

 

0

 

 

 

x

 

 

 

 

0

 

 

 

x

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

  3. De som van de getallen in ieder willekeurig 2 x 2 deelvierkant is gelijk aan 130, oftewel

      de helft van de magische som.

 

 

HSA

In november en december 2006 namen Petra Alkema, Jesse Hoekstra en Willem Schilte deel aan de masterclass Magische vierkanten en Sudokus aan de Radboud Universiteit te Nijmegen, gegeven door Arno van den Essen. Op 14 december 2006, de laatste dag van de cursus, construeerden ze de volgende variant van een zuiver (bijna) Franklin magisch vierkant van orde twaalf (waarvan de magische som 870 is):

  

 

  1

142

 11

136

  8

138

  5

139

 12

135

  2

141

120

 27

110

 33

113

 31

116

 30

109

 34

119

 28

121

 22

131

 16

128

 18

125

 19

132

 15

122

 21

 48

 99

 38

105

 41

103

 44

102

 37

106

 47

100

 73

 70

 83

 64

 80

 66

 77

 67

 84

 63

 74

 69

 60

 87

 50

 93

 53

 91

 56

 90

 49

 94

 59

 88

 85

 58

 95

 52

 92

 54

 89

 55

 96

 51

 86

 57

 72

 75

 62

 81

 65

 79

 68

 78

 61

 82

 71

 76

 97

 46

107

 40

104

 42

101

 43

108

 39

 98

 45

 24

123

 14

129

 17

127

 20

126

 13

130

 23

124

 25

118

 35

112

 32

114

 29

115

 36

111

 26

117

144

  3

134

   9

137

  7

140

  6

133

 10

143

  4

  

Het vierkant heeft de volgende eigenschappen:

 

(1e) Het vierkant is zuiver panmagisch, dat wil zeggen dat de som van de getallen van iedere rij, iedere kolom en iedere (gebroken) diagonaal 870 is.

 

(2e) De som van de getallen van de vier gebogen diagonalen en de vier parallelle gebogen diagonalen is 870.

 

(3e) De som van de getallen van ieder willekeurig 2 x 2 deelvierkant is 290, oftewel één derde van de magische som.

 

(4e) Het vierkant heeft wel de halve-kolom eigenschap, maar niet de halve-rij eigenschap van Franklin. Wel is de som van de halve rijen afwisselend 434 en 436. Ook is de som van de getallen van iedere één derde rij en van iedere één derde kolom gelijk aan 290, ofte-wel één derde van de magische som.