Beroemde magische vierkanten

Lo Shu

Het oudst bekende magische vierkant is de Lo Shu en dateert van 2800 voor Christus. Het magisch 3x3 vierkant kreeg haar naam Lo Shu (dat “boek van de rivier de Lo” betekent) door een legende.

8	1	6
3	5	7
4	9	2

Khajuraho

Het eerste zuiver magische vierkant van orde vier verscheen rond 1100 als een inscriptie in het beroemde tempelcomplex te Khajuraho in centraal India.

7	12	1	14
2	13	8	11
16	3	10	5
9	6	15	4

Eerste bijzondere eigenschap van dit magisch vierkant is dat ook de som van de getallen van alle zogenaamde gebroken diagonalen (b.v. 16+13+1+4=34) de magische som van 34 oplevert. Zulke vierkanten heten pan(diagonaal) magisch en worden ook wel duivelse vierkanten genoemd.

Tweede bijzondere eigenschap van dit magisch vierkant is dat een willekeurig 2 x 2 deelvierkant in het vierkant (b.v. 2+13+16+3=34) de magische som van 34 oplevert.

Bovengenoemde eigenschappen van het Khajurahovierkant zorgen ervoor dat je een zogenaamd magisch tapijt kunt maken door een willekeurig aantal vierkanten naast en onder elkaar te leggen. Dit magische tapijt heeft de volgende eigenschappen:

(1^e) ieder willekeurig (uit het tapijt) gekozen 4 x 4 deelvierkant is zuiver panmagisch;

(2^e) ieder willekeurig (uit het tapijt) gekozen 2 x 2 deelvierkant levert de magische som op.

Dürer

In 1514 publiceerde de Duitse renaissancekunstenaar/wiskundige Albrecht Dürer (1471-1528) via de gravure Melancholia het volgende (symmetrische) 4x4 magisch vierkant:

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Als je de 4 en de 1 vervangt door de 4e respectievelijk 1e letter van het alfabet, dan krijg je op de laatste regel D1514A, te weten de initialen van Albrecht Dürer plus het jaartal, waarin hij het magisch vierkant heeft gepubliceerd. Als je de letters van ALBRECHT DURER vervangt door hun rangnummers in het alfabet en deze getallen optelt, dan is de uitkomst 135. Tel hierbij 1 (het symbool van God; de 1 is ook groter dan de andere getallen in de gravure weergegeven) op en je krijgt 136 en dat is precies de som van alle getallen 1 t/m 16 in het magische vierkant!!!

Euler

Een Latijns vierkant van de orde n is een n bij n vierkant met daarin precies n verschillen-de getallen. Deze getallen moeten bovendien zo gerangschikt zijn dat in iedere rij en iedere kolom al deze n verschillende getallen precies één keer voorkomen. Even simpel uitgelegd: een Latijns vierkant van orde 9 is een compleet ingevulde (9 bij 9) Sudoku (alleen dan met de getallen 0 t/m 8 i.p.v. 1 t/m 9).

De beroemde wiskundige Leonhard Euler (geboren op 15 april 1707 te Bazel) heeft het volgende gevonden: Men neme twee Latijnse vierkanten van de zelfde orde (n). Deze vierkanten (laten we ze N en M noemen) moeten als extra eigenschap hebben dat op hun diagonalen ook de getallen 0, 1, …, n-1 precies één keer voorkomen. Vorm het volgende vierkant V = n x N + M. Dit nieuwe vierkant is altijd magisch (maar voldoet echter meestal niet aan de voorwaarde van verschillende gehele getallen).

Sator Arepo

Een Latijns vierkant behoeft overigens niet altijd uit getallen te bestaan. Zie hieronder het beroemde 2000 jaar oude “magisch” vierkant genaamd de Sator Arepo.

S

A

T

O

R

A

R

E

P

O

T

E

N

E

T

O

P

E

R

A

R

O

T

A

S

De Latijnse zin “SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS” (die zoiets als “De zaaier Arepo houdt de wereld draaiende” betekent) is een palindroom. Dat wil zeggen dat je dezelfde zin krijgt als je hem van voren naar achteren leest. Ook het vierkant zelf kun je op verschillende manieren lezen, van onder naar boven, van links naar rechts, enzovoorts.

Franklin

Benjamin Franklin werd op 17 januari 1706 in Boston geboren als zoon van een kaarsen-maker. Op twaalfjarige leeftijd ging Franklin in de leer als drukker. Na zo’n achttien jaar had hij het geschopt tot uitgever van een succesvol dagblad. Omdat Franklin op dertig-jarige leeftijd een vermogend man was geworden, besloot hij zich met wetenschap bezig te gaan houden. Naast praktische wetenschap (zo heeft Franklin bijvoorbeeld de bliksemafleider uitgedacht) hield Franklin zich ook bezig met magische vierkanten. Deze vierkanten hebben bijzondere eigenschappen die inmiddels bekend staan als de Franklin eigenschappen. Zie ter voorbeeld onderstaand Franklins zuiver magisch vierkant van orde acht (waarvan de magische som 260 is).

52	61	4	13	20	29	36	45
14	3	62	51	46	35	30	19
53	60	5	12	21	28	37	44
11	6	59	54	43	38	27	22
55	58	7	10	23	26	39	42
9	8	57	56	41	40	25	24
50	63	2	15	18	31	34	47
16	1	64	49	48	33	32	17

Franklin’s magisch vierkant heeft de volgende bijzondere eigenschappen:

De som van de getallen in iedere halve rij en halve kolom is gelijk aan 130, oftewel de helft van de magische som.
De som van de getallen op ieder van de vier gebogen diagonalen en ieder van de vier parallelle gebogen diagonalen (zie onder) is gelijk aan 260, oftewel de magische som.

x				0
	x				0
		x				0
			x				0
			x				0
		x				0
	x				0
x				0

			0				x
		0				x
	0				x
0				x
0				x
	0				x
		0				x
			0				x

			0	0
		0			0
	0					0
0							0
			x	x
		x			x
	x					x
x							x

x							x
	x					x
		x			x
			x	x
0							0
	0					0
		0			0
			0	0

3. De som van de getallen in ieder willekeurig 2 x 2 deelvierkant is gelijk aan 130,

oftewel de helft van de magische som.

HSA

In november en december 2006 namen Petra Alkema, Jesse Hoekstra en Willem Schilte deel aan de masterclass Magische vierkanten en Sudokus aan de Radboud Universiteit te Nijmegen, gegeven door Arno van den Essen. Op 14 december 2006, de laatste dag van de cursus, construeerden ze de volgende variant van een zuiver (bijna) Franklin magisch vierkant van orde twaalf (waarvan de magische som 870 is):

1	142	11	136	8	138	5	139	12	135	2	141
120	27	110	33	113	31	116	30	109	34	119	28
121	22	131	16	128	18	125	19	132	15	122	21
48	99	38	105	41	103	44	102	37	106	47	100
73	70	83	64	80	66	77	67	84	63	74	69
60	87	50	93	53	91	56	90	49	94	59	88
85	58	95	52	92	54	89	55	96	51	86	57
72	75	62	81	65	79	68	78	61	82	71	76
97	46	107	40	104	42	101	43	108	39	98	45
24	123	14	129	17	127	20	126	13	130	23	124
25	118	35	112	32	114	29	115	36	111	26	117
144	3	134	9	137	7	140	6	133	10	143	4

Het vierkant heeft de volgende eigenschappen:

(1^e) Het vierkant is zuiver panmagisch, dat wil zeggen dat de som van de getallen van iedere rij, iedere kolom en iedere (gebroken) diagonaal 870 is.

(2^e) De som van de getallen van de vier gebogen diagonalen en de vier parallelle gebogen diagonalen is 870.

(3^e) De som van de getallen van ieder willekeurig 2 x 2 deelvierkant is 290, oftewel één derde van de magische som.

(4^e) Het vierkant heeft wel de halve-kolom eigenschap, maar niet de halve-rij eigenschap van Franklin. Wel is de som van de halve rijen afwisselend 434 en 436. Ook is de som van de getallen van iedere één derde rij en van iedere één derde kolom gelijk aan 290, ofte-wel één derde van de magische som.

Twee dimensionaal