Kwadrantmethode, groep 1 t/m 5

 

Toelichting groep 1
De magische vierkanten van groep 1 worden gemaakt door de 8x8 basispatronen bestaande uit G-kwadranten te combineren met de gereflecteerde (ten opzichte van de diagonaal gespiegelde) basispatronen G.

 

Eerst maken we het 8x8 patroon voor de rijcoördinaten. Plaats 0-kwadrant patroon G1, G2, G3, G4, G5 of G6 in de linker bovenhoek. In het voorbeeld is gekozen voor G1.

 

  

   G1 (rijpatroon), stap 1

0

6

7

1

 

 

 

 

7

1

0

6

 

 

 

 

0

6

7

1

 

 

 

 

7

1

0

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Noodzakelijkerwijs moet hetzelfde G-patroon in het linksonder kwadrant gecontinueerd worden.

 

 

G1 (rijpatroon), stap 2 

0

6

7

1

 

 

 

 

7

1

0

6

 

 

 

 

0

6

7

1

 

 

 

 

7

1

0

6

 

 

 

 

0

6

7

1

 

 

 

 

7

1

0

6

 

 

 

 

0

6

7

1

 

 

 

 

7

1

0

6

 

 

 

 

 

 

De rechter helft van het rijpatroon wordt ingevuld met de getallen 2, 3, 4, en 5. Voor de kolom(men) 5 (en 7) zijn er vier invulmogelijkheden: 2-5, 5-2, 3-4, of 4-3. In het voorbeeld is gekozen voor 2-5.

  

 

 G1 (rijpatroon), stap 3

0

6

7

1

2

 

5

 

7

1

0

6

5

 

2

 

0

6

7

1

2

 

5

 

7

1

0

6

5

 

2

 

0

6

7

1

2

 

5

 

7

1

0

6

5

 

2

 

0

6

7

1

2

 

5

 

7

1

0

6

5

 

2

 

 

 

Voor de kolom(men) 6 (en 8) zijn er nog maar 2 invulmogelijkheden (in bovenstaand voorbeeld: 3-4 of 4-3). Gekozen is voor 4-3.

 

 

 G1 (rijpatroon), stap 4

0

6

7

1

2

4

5

3

7

1

0

6

5

3

2

4

0

6

7

1

2

4

5

3

7

1

0

6

5

3

2

4

0

6

7

1

2

4

5

3

7

1

0

6

5

3

2

4

0

6

7

1

2

4

5

3

7

1

0

6

5

3

2

4

 

 

In totaal zijn er 6 (namelijk G1 t/m G6) x 4 (zie invulmogelijkheden van stap 3) x 2 (zie invulmogelijkheden van stap 4) = 48 verschillende rijpatronen mogelijk.

 

Via reflectie (spiegeling ten opzichte van de linksboven-rechtsonder diagonaal) kunnen vanuit de 48 mogelijke rijpatronen 48 kolompatronen worden gemaakt. Alleen in groep 1, de G-groep, is het zonder meer mogelijk om elk van de 48 rijpatronen te combineren met elk van de 48 kolompatronen. Zie onder de combinatie G1-G1*:

  

 

 1x getal uit rijpatroon +1   +   8x getal uit kolompatroon  =  meest perfect 8x8 mag. vierkant

 0

6

7

1

2

4

5

3

 

 

0

7

0

7

0

7

0

7

 

 

1

63

8

58

3

61

6

60

7

1

0

6

5

3

2

4

 

 

6

1

6

1

6

1

6

1

 

 

56

10

49

15

54

12

51

13

0

6

7

1

2

4

5

3

 

 

7

0

7

0

7

0

7

0

 

 

57

7

64

2

59

5

62

4

7

1

0

6

5

3

2

4

 

 

1

6

1

6

1

6

1

6

 

 

16

50

9

55

14

52

11

53

0

6

7

1

2

4

5

3

 

 

2

5

2

5

2

5

2

5

 

 

17

47

24

42

19

45

22

44

7

1

0

6

5

3

2

4

 

 

4

3

4

3

4

3

4

3

 

 

40

26

33

31

38

28

35

29

0

6

7

1

2

4

5

3

 

 

5

2

5

2

5

2

5

2

 

 

41

23

48

18

43

21

46

20

7

1

0

6

5

3

2

4

 

 

3

4

3

4

3

4

3

4

 

 

32

34

25

39

30

36

27

37

 

 

Via de combinatie G-G* zijn in totaal 48x48 = 2304 oplossingen mogelijk.
 
 

N.B.: De oplossingsmogelijkheden met extra magische eigenschap X worden verkregen door invulling van de volgende 6 getallencombinaties voor de 1e regel: 0-6-7-1-2-4-5-3, 0-6-7-1-4-2-3-5, 0-5-7-2-1-4-6-3, 0-5-7-2-4-1-3-6, 0-3-7-4-1-2-6-5 en 0-3-7-4-2-1-5-6. Analoog aan de berekening van het totale aantal oplossingsmogelijkheden komt het aantal oplossingen X voor groep 1 uit op: 6 (rijpatroon) x 6 (gereflecteerd kolompatroon) = 36.

 

 
Toelichting groep 2

De magische vierkanten van groep 2 worden gemaakt door de 8x8 basispatronen met structuur A te combineren met de 8x8 basispatronen met structuur B.

 

Eerst maken we het 8x8 patroon voor de rijcoördinaten. Plaats 0-kwadrant patroon A1, A2, of A3 in de linker bovenhoek. In het voorbeeld is gekozen voor A1.

 

 

 A1 (rijpatroon), stap 1 

0

7

6

1

 

 

 

 

7

0

1

6

 

 

 

 

1

6

7

0

 

 

 

 

6

1

0

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Op de 5e rij kun je alleen vervolgen met 0-7-6-1 of 1-6-7-0. Met beide mogelijkheden kun je het linksonder kwadrant afmaken met handhaving van de A-structuur. Onderstaand is gekozen voor 0-7-6-1, wat in feite neer komt op herhaling van het 1e kwadrant.

 

 

 A1 (rijpatroon), stap 2

0

7

6

1

 

 

 

 

7

0

1

6

 

 

 

 

1

6

7

0

 

 

 

 

6

1

0

7

 

 

 

 

0

7

6

1

 

 

 

 

7

0

1

6

 

 

 

 

1

6

7

0

 

 

 

 

6

1

0

7

 

 

 

 

 

 

De rechter helft van het rijpatroon wordt ingevuld met de getallen 2, 3, 4, en 5. Voor kolom 5 zijn er twee invulmogelijkheden: 2-5-3-4 of 4-3-5-2. In het voorbeeld is gekozen voor 2-5-3-4. Met beide mogelijkheden kan je het rechtsboven kwadrant met handhaving van de A-structuur afmaken. Het rechtsonder kwadrant volgt dan vanzelf en heeft noodzakelijkerwijs ook de A-structuur.

 

 

 A1 (rijpatroon), stap 3 

0

7

6

1

2

 

 

 

7

0

1

6

5

 

 

 

1

6

7

0

3

 

 

 

6

1

0

7

4

 

 

 

0

7

6

1

 

 

 

 

7

0

1

6

 

 

 

 

1

6

7

0

 

 

 

 

6

1

0

7

 

 

 

 

 

 

 A1 (rijpatroon), stap 4

0

7

6

1

2

5

4

3

7

0

1

6

5

2

3

4

1

6

7

0

3

4

5

2

6

1

0

7

4

3

2

5

0

7

6

1

2

5

4

3

7

0

1

6

5

2

3

4

1

6

7

0

3

4

5

2

6

1

0

7

4

3

2

5

 

 

Samenvattend, we zijn begonnen met A1 te plaatsen in het 1e kwadrant, we hadden 2 mogelijkheden om het 3e kwadrant samen te stellen, en daarna twee mogelijkheden om het 2e kwadrant samen te stellen, waarna het 4e kwadrant zonder meer vast ligt. Plaatsing van A1 in 1e kwadrant geeft dus 4 verschillende mogelijkheden om het 8x8 basispatroon af te maken. We hadden echter ook met een A2 of een A3 kunnen beginnen in 1e kwadrant. Conclusie: er zijn (spiegelingen niet meegeteld) dus 3 x 4 = 12 AAAA basispatronen.

 

Nu maken we het 8x8 patroon voor de kolomcoördinaten. Plaats basis kwadrant patroon B1, B2, of B3 in de linker bovenhoek. In het voorbeeld is gekozen voor B2.

 

 

B2 (kolompatroon), stap 1

0

5

2

7

 

 

 

 

2

7

0

5

 

 

 

 

5

0

7

2

 

 

 

 

7

2

5

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Kijk nu naar de 5e kolom. Om de pandiagonaliteit te handhaven kan op plaats 1 en 2 alleen maar een 0 of een 2 staan, dus de volgorde wordt 0-2-5-7 of 2-0-7-5. We kiezen voor 0-2-5-7, waarmee het 1e kwadrant herhaald wordt.

 

 

B2 (kolompatroon), stap 2 

0

5

2

7

0

5

2

7

2

7

0

5

2

7

0

5

5

0

7

2

5

0

7

2

7

2

5

0

7

2

5

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

De onderste helft van het kolompatroon wordt ingevuld met de getallen 1, 3, 4, en 6. Voor rij 5 zijn er twee invulmogelijkheden: 4-1-6-3 of 1-4-3-6. In het voorbeeld is gekozen voor 4-1-6-3. Met beide mogelijkheden kun je, met handhaving van de B-structuur, het 8x8 basispatroon afmaken.

 

 

 B2 (kolompatroon), stap 3

0

5

2

7

0

5

2

7

2

7

0

5

2

7

0

5

5

0

7

2

5

0

7

2

7

2

5

0

7

2

5

0

4

1

6

3

4

1

6

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 B2 (kolompatroon), stap 4

0

5

2

7

0

5

2

7

2

7

0

5

2

7

0

5

5

0

7

2

5

0

7

2

7

2

5

0

7

2

5

0

4

1

6

3

4

1

6

3

6

3

4

1

6

3

4

1

1

4

3

6

1

4

3

6

3

6

1

4

3

6

1

4

 

 

In totaal zijn er 3 (namelijk B1 t/m B3) x 2 (zie invulmogelijkheden van stap 3) x 2 (zie invulmogelijkheden stap 4) = 12 verschillende BBBB kolompatronen mogelijk.

 

Tenslotte kan vanuit het rij- en kolompatroon het magische vierkant worden gemaakt.

  

 

 1x getal uit rijpatroon +1   +   8x getal uit kolompatroon  = meest perfect 8x8 magisch vierkant

0

7

6

1

2

5

4

3

 

 

0

5

2

7

0

5

2

7

 

 

1

48

23

58

3

46

21

60

7

0

1

6

5

2

3

4

 

 

2

7

0

5

2

7

0

5

 

 

24

57

2

47

22

59

4

45

1

6

7

0

3

4

5

2

 

 

5

0

7

2

5

0

7

2

 

 

42

7

64

17

44

5

62

19

6

1

0

7

4

3

2

5

 

 

7

2

5

0

7

2

5

0

 

 

63

18

41

8

61

20

43

6

0

7

6

1

2

5

4

3

 

 

4

1

6

3

4

1

6

3

 

 

33

16

55

26

35

14

53

28

7

0

1

6

5

2

3

4

 

 

6

3

4

1

6

3

4

1

 

 

56

25

34

15

54

27

36

13

1

6

7

0

3

4

5

2

 

 

1

4

3

6

1

4

3

6

 

 

10

39

32

49

12

37

30

51

6

1

0

7

4

3

2

5

 

 

3

6

1

4

3

6

1

4

 

 

31

50

9

40

29

52

11

38

 

 

Via de combinatie A-B zijn in totaal 12x12 = 144 oplossingen mogelijk. De combinatie B-A (ofwel omwisselen van de rij- en de kolompatronen) levert ook 144 oplossingen. Hiermee komt het totale aantal oplossingsmogelijkheden van groep 2 uit op 144 + 144 = 288.

 

Zie overigens ook kwadrant methode toegepast voor meest perfect 12x12 en 16x16 magisch vierkant (met de extra magische eigenschap X) op de website van Willem Barink: http://iteror.org/friends/wba/magic-squares.html

 

 

Toelichting groep 3
De magische vierkanten van groep 3 worden gemaakt door de basispatronen met C-structuur te combineren met de gereflecteerde basispatronen C (groep 3a) en vice versa (groep 3b).

 

Eerst maken we het 8x8 patroon voor de rijcoördinaten. Plaats 0-kwadrant patroon C1, C3, of C5 in de linker bovenhoek. In het voorbeeld is gekozen voor C1 (combinatie 3a).

 

 

 C1 (rijpatroon), stap 1 

0

6

1

7

 

 

 

 

7

1

6

0

 

 

 

 

6

0

7

1

 

 

 

 

1

7

0

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bekijk nu plaats 2 en 3 van de 5e kolom. Het spreekt vanzelf dat daar 7 en 6 moeten staan. Dus zijn er twee bruikbare volgorden: 0-7-6-1 en 1-6-7-0 voor de 5e kolom. Met beide volgorden kan het 2e kwadrant met handhaving van de C-structuur worden afgemaakt. Onderstaand is gekozen voor 0-7-6-1.

 

 

C1 (rijpatroon), stap 2              

0

6

1

7

0

6

1

7

7

1

6

0

7

1

6

0

6

0

7

1

6

0

7

1

1

7

0

6

1

7

0

6