Inlaid 22x22 magic square

 

The challenge was to construct an inlaid magic square with even and odd inlay magic squares in it. See below how I did it.

 

The design

The design of the 20x20 inlay square is as follows:

 

 

                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       

 

 

In the corners are four 7x7 panmagic squares. Around the 7x7 panmagic squares are half borders. The ‘cross’ in the middle consists of five panmagic 4x4 squares (and eight half panmagic suares, in which two times two numbers have been swapped to make the magic square valid; see explained later). In the 20x20 inlay square (at first) are the numbers 1 up to 400 (later on added by 42). I used the numbers 103 up to 298 to construct the four panmagic 7x7 squares. I used the numbers 73 up to 102 and 299 up to 328 to construct the half borders. I used the numbers 1 up to 72 and 329 up to 400 to construct the five whole and eight half panmagic 4x4 squares.

 

The four panmagic 7x7 squares

To construct the four panmagic 7x7 squares we use the same method to construct a composite 21x21 magic square. As row coordinates we use the numbers 0 up to 6. As column coordinates we use the numbers 0 up to 27 and we try to get the four panmagic 7x7 squares as proportional as possible.

 

 

Column coordinates first square             Row coordinates first square

0

4

11

13

18

23

25

   

0

1

2

3

4

5

6

11

13

18

23

25

0

4

   

3

4

5

6

0

1

2

18

23

25

0

4

11

13

   

6

0

1

2

3

4

5

25

0

4

11

13

18

23

   

2

3

4

5

6

0

1

4

11

13

18

23

25

0

   

5

6

0

1

2

3

4

13

18

23

25

0

4

11

   

1

2

3

4

5

6

0

23

25

0

4

11

13

18

   

4

5

6

0

1

2

3

 

 

7x column+1x row coord.+1+102 = First panmagic 7x7 square

1

30

80

95

131

167

182

   

103

132

182

197

233

269

284

81

96

132

168

176

2

31

   

183

198

234

270

278

104

133

133

162

177

3

32

82

97

   

235

264

279

105

134

184

199

178

4

33

83

98

127

163

   

280

106

135

185

200

229

265

34

84

92

128

164

179

5

   

136

186

194

230

266

281

107

93

129

165

180

6

35

78

   

195

231

267

282

108

137

180

166

181

7

29

79

94

130

   

268

283

109

131

181

196

232

 

 

Column coordinates second square     Row coordinates second square

2

5

9

15

16

21

26

   

0

1

2

3

4

5

6

9

15

16

21

26

2

5

   

3

4

5

6

0

1

2

16

21

26

2

5

9

15

   

6

0

1

2

3

4

5

26

2

5

9

15

16

21

   

2

3

4

5

6

0

1

5

9

15

16

21

26

2

   

5

6

0

1

2

3

4

15

16

21

26

2

5

9

   

1

2

3

4

5

6

0

21

26

2

5

9

15

16

   

4

5

6

0

1

2

3

 

 

7x column+1x row coord.+1+102 = Second panmagic 7x7 square

15

37

66

109

117

153

189

   

117

139

168

211

219

255

291

67

110

118

154

183

16

38

   

169

212

220

256

285

118

140

119

148

184

17

39

68

111

   

221

250

286

119

141

170

213

185

18

40

69

112

113

149

   

287

120

142

171

214

215

251

41

70

106

114

150

186

19

   

143

172

208

216

252

288

121

107

115

151

187

20

42

64

   

209

217

253

289

122

144

166

152

188

21

36

65

108

116

   

254

290

123

138

167

210

218

 

 

Column coordinates third square          Row coordinates third square

3

7

10

14

17

20

24

   

0

1

2

3

4

5

6

10

14

17

20

24

3

7

   

3

4

5

6

0

1

2

17

20

24

3

7

10

14

   

6

0

1

2

3

4

5

24

3

7

10

14

17

20

   

2

3

4

5

6

0

1

7

10

14

17

20

24

3

   

5

6

0

1

2

3

4

14

17

20

24

3

7

10

   

1

2

3

4

5

6

0

20

24

3

7

10

14

17

   

4

5

6

0

1

2

3

 

 

7x column+1x row coord.+1+102 = Third panmagic 7x7 square

22

51

73

102

124

146

175

   

124

153

175

204

226

248

277

74

103

125

147

169

23

52

   

176

205

227

249

271

125

154

126

141

170

24

53

75

104

   

228

243

272

126

155

177

206

171

25

54

76

105

120

142

   

273

127

156

178

207

222

244

55

77

99

121

143

172

26

   

157

179

201

223

245

274

128

100

122

144

173

27

56

71

   

202

224

246

275

129

158

173

145

174

28

50

72

101

123

   

247

276

130

152

174

203

225

 

 

Column coordinates fourth square       Row coordinates fourth square

1

6

8

12

19

22

27

   

0

1

2

3

4

5

6

8

12

19

22

27

1

6

   

3

4

5

6

0

1

2

19

22

27

1

6

8

12

   

6

0

1

2

3

4

5

27

1

6

8

12

19

22

   

2

3

4

5

6

0

1

6

8

12

19

22

27

1

   

5

6

0

1

2

3

4

12

19

22

27

1

6

8

   

1

2

3

4

5

6

0

22

27

1

6

8

12

19

   

4

5

6

0

1

2

3

 

 

7x column+1x row coord.+1+102 = Fourth panmagic 7x7 square

8

44

59

88

138

160

196

   

110

146

161

190

240

262

298

60

89

139

161

190

9

45

   

162

191

241

263

292

111

147

140

155

191

10

46

61

90

   

242

257

293

112

148

163

192

192

11

47

62

91

134

156

   

294

113

149

164

193

236

258

48

63

85

135

157

193

12

   

150

165

187

237

259

295

114

86

136

158

194

13

49

57

   

188

238

260

296

115

151

159

159

195

14

43

58

87

137

   

261

297

116

145

160

189

239

 

 

Put the first and second panmagic 7x7 square on top and the third and fourth panmagic 7x7 square at the bottom. That give the following sum totals of the rows, the columns and the diagonals:

 

 

   

2807

2807

2807

2807

2807

2807

2807

           

2807

2807

2807

2807

2807

2807

2807

 
 

2807

                                       

2807

2800

 

103

132

182

197

233

269

284

           

117

139

168

211

219

255

291

 

2800

 

183

198

234

270

278

104

133

           

169

212

220

256

285

118

140

 

2800

 

235

264

279

105

134

184

199

           

221

250

286

119

141

170

213

 

2800

 

280

106

135

185

200

229

265

           

287

120

142

171

214

215

251

 

2800

 

136

186

194

230

266

281

107

           

143

172

208

216

252

288

121

 

2800

 

195

231

267

282

108

137

180

           

209

217

253

289

122

144

166

 

2800

 

268

283

109

131

181

196

232

           

254

290

123

138

167

210

218

 
                                             
                                             
                                             
                                             
                                             
                                             

2814

 

124

153

175

204

226

248

277

           

110

146

161

190

240

262

298

 

2814

 

176

205

227

249

271

125

154

           

162

191

241

263

292

111

147

 

2814

 

228

243

272

126

155

177

206

           

242

257

293

112

148

163

192

 

2814

 

273

127

156

178

207

222

244

           

294

113

149

164

193

236

258

 

2814

 

157

179

201

223

245

274

128

           

150

165

187

237

259

295

114

 

2814

 

202

224

246

275

129

158

173

           

188

238

260

296

115

151

159

 

2814

 

247

276

130

152

174

203

225

           

261

297

116

145

160

189

239

 

 

 

Notify that op the sum of the rows is (14/20 x 4010 =) 2807 -/- 7 respectively +/+ 7. We correct the difference when we construct the half borders around the 7x7 magic squares.

 

The four half borders

To construct the vertical parts of the half borders excluding the corners we use the numbers 89 up to 102 and 299 up to 312. We combine the numbers to get the sum of 408 for the top vertical parts and the sum of 394 for the bottom vertical parts. To construct the horizontal parts including the corners we combine the remaining numbers, taking care that the sum is each time 401. With exception of the half borders, the sum of all rows, columns and diagonals is now 16/20 of the magic sum of 4010 that is 3208.

 

 

   

3208

3208

3208

3208

3208

3208

3208

3216

       

3200

3208

3208

3208

3208

3208

3208

3208

 
 

3208

             

+8

       

-8

             

3208

3208

 

103

132

182

197

233

269

284

312

       

96

117

139

168

211

219

255

291

 

3208

 

183

198

234

270

278

104

133

311

       

97

169

212

220

256

285

118

140

 

3208

 

235

264

279

105

134

184

199

310

       

98

221

250

286

119

141

170

213

 

3208

 

280

106

135

185

200

229

265

309

       

99

287

120

142

171

214

215

251

 

3208

 

136

186

194

230

266

281

107

308

       

100

143

172

208

216

252

288

121

 

3208

 

195

231

267

282

108

137

180

307

       

101

209

217

253

289

122

144

166

 

3208

 

268

283

109

131

181

196

232

306

       

102

254

290

123

138

167

210

218

 

3270

+62

328

327

326

325

324

323

322

88

       

80

87

86

85

84

83

82

320

 
                                             
                                             
                                             
                                             

3146

-62

73

74

75

76

77

78

79

321

       

313

314

315

316

317

318

319

81

 

3208

 

124

153

175

204

226

248

277

89

       

305

110

146

161

190

240

262

298

 

3208

 

176

205

227

249

271

125

154

90

       

304

162

191

241

263

292

111

147

 

3208

 

228

243

272

126

155

177

206

91

       

303

242

257

293

112

148

163

192

 

3208

 

273

127

156

178

207

222

244

92

       

302

294

113

149

164

193

236

258

 

3208

 

157

179

201

223

245

274

128

93

       

301

150

165

187

237

259

295

114

 

3208

 

202

224

246

275

129

158

173

94

       

300

188

238

260

296

115

151

159

 

3208

 

247

276

130

152

174

203

225

95

       

299

261

297

116

145

160

189

239

 

 

 

Notify that the sum of the two horizontal half borders is (16/20 x 4010 =) 3208 +/+ 62 respectively -/- 62 and the sum of the two vertical half borders is 3208 +/+ 8 respectively -/- 8. These differences will be corrected with the construction of the eight half panmagic 4x4 squares.

 

 

The (8x1/2 + 5x1 =) 9 panmagic 4x4 squares

To construct the 9 panmagic 4x4 squares we need the 72 lowest and the 72 highest numbers. We construct 9 proportional panmagic 4x4 squares (with the magic sum of 4/20 x 4010 = 802) by using the Khajuraho method.

 

 

7

396

1

398

 

15

388

9

390

 

23

380

17

382

 

31

372

25

374

 

39

364

33

366

2

397

8

395

 

10

389

16

387

 

18

381

24

379

 

26

373

32

371

 

34

365

40

363

400

3

394

5

 

392

11

386

13

 

384

19

378

21

 

376

27

370

29

 

368

35

362

37

393

6

399

4

 

385

14

391

12

 

377

22

383

20

 

369

30

375

28

 

361

38

367

36

                                               
         

390

15

388

9

                             
         

387

10

389

16

                             
         

13

392

11

386

                             
         

12

385

14

391

                             
                                               
                                               

47

356

41

358

 

55

348

49

350

 

63

340

57

342

 

71

332

65

334

         

42

357

48

355

 

50

349

56

347

 

58

341

64

339

 

66

333

72

331

         

360

43

354

45

 

352

51

346

53

 

344

59

338

61

 

336

67

330

69

         

353

46

359

44

 

345

54

351

52

 

337

62

343

60

 

329

70

335

68

         
                                               
                   

64

339

58

341

                   
                   

338

61

344

59

                   
                   

343

60

337

62

                   
                   

57

342

63

340

                   

 

  

By shifting the 4x4 magic square on a 2x2 carpet we take care that the numbers 1 and 63 respectively 12 and 20 will be put opposite to each other, so by swapping the digits the difference of +/- 62 in the rows and the difference of +/- 8 in the columns of the half borders can be corrected.

 

 

103

132

182

197

233

269

284

312

64

339

58

341

96

117

139

168

211

219

255

291

183

198

234

270

278

104

133

311

338

61

344

59

97

169

212

220

256

285

118

140

235

264

279

105

134

184

199

310

31

372

25

374

98

221

250

286

119

141

170

213

280

106

135

185

200

229

265

309

26

373

32

371

99

287

120

142

171

214

215

251

136

186

194

230

266

281

107

308

376

27

370

29

100

143

172

208

216

252

288

121

195

231

267

282

108

137

180

307

369

30

375

28

101

209

217

253

289

122

144

166

268

283

109

131

181

196

232

306

343

60

337

62

102

254

290

123

138

167

210

218

328

327

326

325

324

323

322

88

57

342

1

340

80

87

86

85

84

83

82

320

23

380

39

364

33

366

17

382

71

332

65

334

390

15

47

356

41

358

388

9

18

381

34

365

40

363

24

379

66

333

72

331

387

10

42

357

48

355

389

16

384

19

368

35

362

37

378

21

336

67

330

69

13

392

360

43

354

45

11

386

377

22

361

38

367

36

383

12

329

70

335

68

20

385

353

46

359

44

14

391

73

74

75

76

77

78

79

321

7

396

63

398

313

314

315

316

317

318

319

81

124

153

175

204

226

248

277

89

2

397

8

395

305

110

146

161

190

240

262

298

176

205

227

249

271

125

154

90

55

348

49

350

304

162

191

241

263

292

111

147

228

243

272

126

155

177

206

91

50

349

56

347

303

242

257

293

112

148

163

192

273

127

156

178

207

222

244

92

352

51

346

53

302

294

113

149

164

193

236

258

157

179

201

223

245

274

128

93

345

54

351

52

301

150

165

187

237

259

295

114

202

224

246

275

129

158

173

94

400

3

394

5

300

188

238

260

296

115

151

159

247

276

130

152

174

203

225

95

393

6

399

4

299

261

297

116

145

160

189

239

 

 

The 20x20 inlay is ready now.

 

 

The 22x22 border

To construct the 22x22 border we use the numbers 1 up to 42 and 443 up to 484 (translated into -/- 42 up to -/- 1). See the following steps:

  

 

+/+

22

23

1

42

2

41

3

40

4

39

20

 

237

-/-

22

5

38

6

37

7

36

8

35

9

34

 

237

+/+

23

10

33

11

32

12

31

13

30

14

28

 

237

-/-

15

16

17

18

19

21

24

25

26

27

29

 

237

   

 

22

1

42

2

41

3

40

4

39

20

-15

-16

-17

-18

-19

-21

-24

-25

-26

-27

-29

23

                                         

10

                                         

33

                                         

11

                                         

32

                                         

12

                                         

31

                                         

13

                                         

30

                                         

14

                                         

28

                                         

-5

                                         

-38

                                         

-6

                                         

-37

                                         

-7

                                         

-36

                                         

-8

                                         

-35

                                         

-9

                                         

-34

                                         

-22

 

 

  

22

1

42

2

41

3

40

4

39

20

-15

-16

-17

-18

-19

-21

-24

-25

-26

-27

-29

23

-10

                                       

10

-33

                                       

33

-11

                                       

11

-32

                                       

32

-12

                                       

12

-31

                                       

31

-13

                                       

13

-30

                                       

30

-14

                                       

14

-28

                                       

28

5

                                       

-5

38

                                       

-38

6

                                       

-6

37

                                       

-37

7

                                       

-7

36

                                       

-36

8

                                       

-8

35

                                       

-35

9

                                       

-9

34

                                       

-34

-23

-1

-42

-2

-41

-3

-40

-4

-39

-20

15

16

17

18

19

21

24

25

26

27

29

-22

  

 

2

1

42

2

41

3

40

4

39

20

470

469

468

467

466

464

461

460

459

458

456

23

475

                                       

10

452

                                       

33

474

                                       

11

453

                                       

32

473

                                       

12

454

                                       

31

472

                                       

13

455

                                       

30

471

                                       

14

457

                                       

28

5

                                       

480

38

                                       

447

6

                                       

479

37

                                       

448

7

                                       

478

36

                                       

449

8

                                       

477

35

                                       

450

9

                                       

476

34

                                       

451

462

484

443

483

444

482

445

481

446

465

15

16

17

18

19

21

24

25

26

27

29

463

 

 

The final result

Add 42 to all numbers of the 20x20 inlay and combine the 22x22 border with the 20x20 inlay:

 

 

22x22 inlaid square

22

1

42

2

41

3

40

4

39

20

470

469

468

467

466

464

461

460

459

458

456

23

475

145

174

224

239

275

311

326

354

106

381

100

383

138

159

181

210

253

261

297

333

10

452

225

240

276

312

320

146

175

353

380

103

386

101

139

211

254

262

298

327

160

182

33

474

277

306

321

147

176

226

241

352

73

414

67

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