Symmetrische transformatie

 

Paulus Gerdes introduceerde het Liki magisch vierkant (zie http://plus.maths.org/content/ new-designs-africa). Hij toonde dat het mogelijk is om een vierkant met opeenvolgende getallen te transformeren in een magisch vierkant door de helft van de getallen via een symmetrisch patroon om te wisselen. Deze methode werkt voor magische vierkanten die een veelvoud van 4 zijn (4x4, 8x8, 12x12, 16x16, ...).

 

Paulus Gerdes maakte het volgende symmetrische 8x8 magisch vierkant:


8x8 vierkant met opeenvolgende getallen

 

   

232

240

248

256

264

272

280

288

 
 

260

               

260

36

 

1

2

3

4

5

6

7

8

 

100

 

9

10

11

12

13

14

15

16

 

164

 

17

18

19

20

21

22

23

24

 

228

 

25

26

27

28

29

30

31

32

 

292

 

33

34

35

36

37

38

39

40

 

356

 

41

42

43

44

45

46

47

48

 

420

 

49

50

51

52

53

54

55

56

 

484

 

57

58

59

60

61

62

63

64

 

 

 

Symmetrisch 8x8 magisch viekant

 

   

260

260

260

260

260

260

260

260

 
 

260

               

260

260

 

1

63

3

61

60

6

58

8

 

260

 

56

55

11

12

13

14

50

49

 

260

 

17

18

46

45

44

43

23

24

 

260

 

40

26

38

28

29

35

31

33

 

260

 

32

34

30

36

37

27

39

25

 

260

 

41

42

22

21

20

19

47

48

 

260

 

16

15

51

52

53

54

10

9

 

260

 

57

7

59

5

4

62

2

64

 



Door de structuur van Paulus' 8x8 te gebruiken en door te puzzelen, heb ik een symmetrisch 16x16 magisch vierkant gemaakt:

 

    1936 1952 1968 1984 2000 2016 2032 2048 2064 2080 2096 2112 2128 2144 2160 2176  
  2056                                 2056
136   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16  
392   17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32  
648   33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48  
904   49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64  
1160   65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80  
1416   81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96  
1672   97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112  
1928   113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128  
2184   129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144  
2440   145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160  
2696   161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176  
2952   177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192  
3208   193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208  
3464   209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224  
3720   225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240  
3976   241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256  
                                     
                                     
    2056 2056 2056 2056 2056 2056 2056 2056 2056 2056 2056 2056 2056 2056 2056 2056  
  2056                                 2056
2056   256 255 3 253 5 6 7 249 248 10 11 12 244 14 242 241  
2056   17 18 19 20 236 235 234 233 232 231 230 229 29 30 31 32  
2056   224 223 222 221 37 38 39 40 41 42 43 44 212 211 210 209  
2056   208 207 206 205 53 54 55 56 57 58 59 60 196 195 194 193  
2056   65 66 67 68 188 187 186 185 184 183 182 181 77 78 79 80  
2056   176 175 174 84 172 86 87 88 89 90 91 165 93 163 162 161  
2056   97 98 99 100 156 155 154 153 152 151 150 149 109 110 111 112  
2056   113 114 142 141 117 139 138 120 121 135 134 124 132 131 127 128  
2056   129 130 126 125 133 123 122 136 137 119 118 140 116 115 143 144  
2056   145 146 147 148 108 107 106 105 104 103 102 101 157 158 159 160  
2056   96 95 94 164 92 166 167 168 169 170 171 85 173 83 82 81  
2056   177 178 179 180 76 75 74 73 72 71 70 69 189 190 191 192  
2056   64 63 62 61 197 198 199 200 201 202 203 204 52 51 50 49  
2056   48 47 46 45 213 214 215 216 217 218 219 220 36 35 34 33  
2056   225 226 227 228 28 27 26 25 24 23 22 21 237 238 239 240  
2056   16 15 243 13 245 246 247 9 8 250 251 252 4 254 2 1  

 

 

Hoewel voorgaand 16x16 vierkant door een mooi stukje creatief puzzelen tot stand is gekomen, is het slechts een simpel, symmetrisch magisch 16x16 vierkant. Het kan qua magische eigenschappen beter:


16x16 vierkant met opeenvolgende getallen

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

194

195

196

197

198

199

200

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219

220

221

222

223

224

225

226

227

228

229

230

231

232

233

234

235

236

237

238

239

240

241

242

243

244

245

246

247

248

249

250

251

252

253

254

255

256

 

 
Symmetrisch 16x16 magisch vierkant

1

255

254

4

5

251

250

8

9

247

246

12

13

243

242

16

240

18

19

237

236

22

23

233

232

26

27

229

228

30

31

225

224

34

35

221

220

38

39

217

216

42

43

213

212

46

47

209

49

207

206

52

53

203

202

56

57

199

198

60

61

195

194

64

65

191

190

68

69

187

186

72

73

183

182

76

77

179

178

80

176

82

83

173

172

86

87

169

168

90

91

165

164

94

95

161

160

98

99

157

156

102

103

153

152

106

107

149

148

110

111

145

113

143

142

116

117

139

138

120

121

135

134

124

125

131

130

128

129

127

126

132

133

123

122

136

137

119

118

140

141

115

114

144

112

146

147

109

108

150

151

105

104

154

155

101

100

158

159

97

96

162

163

93

92

166

167

89

88

170

171

85

84

174

175

81

177

79

78

180

181

75

74

184

185

71

70

188

189

67

66

192

193

63

62

196

197

59

58

200

201

55

54

204

205

51

50

208

48

210

211

45

44

214

215

41

40

218

219

37

36

222

223

33

32

226

227

29

28

230

231

25

24

234

235

21

20

238

239

17

241

15

14

244

245

11

10

248

249

7

6

252

253

3

2

256

 


Dit 16x16 magisch vierkant is niet alleen symmetrisch, maar ook kloppend voor 1/4 rij/kolom.

 

Maar het kan nog beter als je de startpositie van de getallen wijzigt; zie hieronder het maximum haalbare:

 

 

Startpositie symmetrisch 16x16 magisch vierkant

1 2 6 5 10 9 13 14 17 18 22 21 26 25 29 30
3 4 8 7 12 11 15 16 19 20 24 23 28 27 31 32
35 36 40 39 44 43 47 48 51 52 56 55 60 59 63 64
33 34 38 37 42 41 45 46 49 50 54 53 58 57 61 62
67 68 72 71 76 75 79 80 83 84 88 87 92 91 95 96
65 66 70 69 74 73 77 78 81 82 86 85 90 89 93 94
97 98 102 101 106 105 109 110 113 114 118 117 122 121 125 126
99 100 104 103 108 107 111 112 115 116 120 119 124 123 127 128
129 130 134 133 138 137 141 142 145 146 150 149 154 153 157 158
131 132 136 135 140 139 143 144 147 148 152 151 156 155 159 160
163 164 168 167 172 171 175 176 179 180 184 183 188 187 191 192
161 162 166 165 170 169 173 174 177 178 182 181 186 185 189 190
195 196 200 199 204 203 207 208 211 212 216 215 220 219 223 224
193 194 198 197 202 201 205 206 209 210 214 213 218 217 221 222
225 226 230 229 234 233 237 238 241 242 246 245 250 249 253 254
227 228 232 231 236 235 239 240 243 244 248 247 252 251 255 256

 

 

Ultramagisch 16x16 magisch vierkant

1 255 6 252 10 248 13 243 17 239 22 236 26 232 29 227
254 4 249 7 245 11 242 16 238 20 233 23 229 27 226 32
35 221 40 218 44 214 47 209 51 205 56 202 60 198 63 193
224 34 219 37 215 41 212 46 208 50 203 53 199 57 196 62
67 189 72 186 76 182 79 177 83 173 88 170 92 166 95 161
192 66 187 69 183 73 180 78 176 82 171 85 167 89 164 94
97 159 102 156 106 152 109 147 113 143 118 140 122 136 125 131
158 100 153 103 149 107 146 112 142 116 137 119 133 123 130 128
129 127 134 124 138 120 141 115 145 111 150 108 154 104 157 99
126 132 121 135 117 139 114 144 110 148 105 151 101 155 98 160
163 93 168 90 172 86 175 81 179 77 184 74 188 70 191 65
96 162 91 165 87 169 84 174 80 178 75 181 71 185 68 190
195 61 200 58 204 54 207 49 211 45 216 42 220 38 223 33
64 194 59 197 55 201 52 206 48 210 43 213 39 217 36 222
225 31 230 28 234 24 237 19 241 15 246 12 250 8 253 3
30 228 25 231 21 235 18 240 14 244 9 247 5 251 2 256

 

 

Dit magisch vierkant is panmagisch, symmetrisch, 2x2 compact en kloppend voor elke 1/4 rij/kolom.

 

 

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16x16, Symmetrische transformatie (Liki)
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