Symmetrische transformatie

 

Paulus Gerdes introduceerde het Liki magisch vierkant (zie http://plus.maths.org/content/ new-designs-africa). Hij toonde dat het mogelijk is om een vierkant met opeenvolgende getallen te transformeren in een magisch vierkant door de helft van de getallen via een symmetrisch patroon om te wisselen. Deze methode werkt voor magische vierkanten die een veelvoud van 4 zijn (4x4, 8x8, 12x12, 16x16, ...).

Het 4x4 magisch vierkant bevat de getallen 1 t/m 16. Elk getal heeft een inverse getal. Het inverse getal is het hoogste getal van het vierkant plus 1 minus het getal. Dan krijg je:

1 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 1 =
16
2 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 2 =
15
3 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 3 =
14
4 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 4 =
13
5 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 5 =
12
6 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 6 =
11
7 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 7 =
10
8 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 8 =
9
9 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 9 =
8
10 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 10 =
7
11 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 11 =
6
12 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 12 =
5
13 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 13 =
4
14 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 14 =
3
15 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 15 =
2
16 --> Inverse getal is 16 + 1 -/- 16 =
1

 

Transformeer het 4x4 vierkant met opeenvolgende getallen in een symmetrisch 4x4 magisch vierkant:

 


4x4 vierkant met opeenvolgende getallen

 

   

28

32

36

40

 
 

34

       

34

10

 

1

2

3

4

 

26

 

5

6

7

8

 

42

 

9

10

11

12

 

58

 

13

14

15

16

 

 


Stel vast dat het vierkant met opeenvolgende getallen reeds symmetrisch is en dat de (hoofd)diagonalen de magische som van 34 opleveren.

 


Symmetrische 4x4 magisch vierkant (1)

 

   

34

34

34

34

 
 

34

       

34

34

 

1

15

14

4

 

34

 

12

6

7

9

 

34

 

8

10

11

5

 

34

 

13

3

2

16

 

 


óf

 


Symmetrisch 4x4 magisch vierkant (2)

 

   

34

34

34

34

 
 

34

       

34

34

 

16

2

3

13

 

34

 

5

11

10

8

 

34

 

9

7

6

12

 

34

 

4

14

15

1

 

 

 

Download
4x4, symmetrische transformatie (Liki).x
Microsoft Excel werkblad 38.5 KB

 

Met slechts één extra stap kun je een 4x4 vierkant met opéénvolgende getallen omwisselen tot het beroemde vierkant van Albrecht Dürer:

  

 

Dürer’s magische vierkant:

 

   

28

32

36

40

         

28

36

32

40

         

34

34

34

34

 
 

34

       

34

     

34

       

34

     

34

       

34

10

 

1

2

3

4

     

10

 

1

3

2

4

     

34

 

16

3

2

13

 

26

 

5

6

7

8

     

26

 

5

7

6

8

     

34

 

5

10

11

8

 

42

 

9

10

11

12

     

42

 

9

11

10

12

     

34

 

9

6

7

12

 

58

 

13

14

15

16

     

58

 

13

15

14

16

     

34

 

4

15

14

1

 

 

 

Download
4x4, Dürer transformatie.xls
Microsoft Excel werkblad 42.5 KB