Composite 16x16 magic square (3)

 

René Chrétien had noticed the 15x15 composite (4) magic square and showed me it is possible to use the method to construct magic squares of even orders as well.

 

Construct the 16x16 magic square by using 16 proportional 4x4 panmagic squares. The squares are proportional because all 16 panmagic 4x4 squares have the same magic sum of (1/4 x 2056 = ) 514. We use the basic key method (4x4) to produce the panmagic 4x4 squares.  As row coordinates don't use 0 up to 3 but use 0 up to (16x4 -/- 1 = ) 63 instead. Take care that the sum of the row coordinates in each 4x4 square is the same  (0+31+32+63 = 1+30+33+62 = ... = 15+16+47+48 = 126) to get proportional squares.

 

 

1x row coordinate +64x column coordinate + 1 = panmagic 4x4 square 

0 31 32 63   0 3 1 2   1 224 97 192
32 63 0 31   3 0 2 1   225 64 129 96
31 0 63 32   2 1 3 0   160 65 256 33
63 32 31 0   1 2 0 3   128 161 32 193
                           
1 30 33 62   0 3 1 2   2 223 98 191
33 62 1 30   3 0 2 1   226 63 130 95
30 1 62 33   2 1 3 0   159 66 255 34
62 33 30 1   1 2 0 3   127 162 31 194
                           
2 29 34 61   0 3 1 2   3 222 99 190
34 61 2 29   3 0 2 1   227 62 131 94
29 2 61 34   2 1 3 0   158 67 254 35
61 34 29 2   1 2 0 3   126 163 30 195
                           
3 28 35 60   0 3 1 2   4 221 100 189
35 60 3 28   3 0 2 1   228 61 132 93
28 3 60 35   2 1 3 0   157 68 253 36
60 35 28 3   1 2 0 3   125 164 29 196
                           
4 27 36 59   0 3 1 2   5 220 101 188
36 59 4 27   3 0 2 1   229 60 133 92
27 4 59 36   2 1 3 0   156 69 252 37
59 36 27 4   1 2 0 3   124 165 28 197
                           
5 26 37 58   0 3 1 2   6 219 102 187
37 58 5 26   3 0 2 1   230 59 134 91
26 5 58 37   2 1 3 0   155 70 251 38
58 37 26 5   1 2 0 3   123 166 27 198
                           
6 25 38 57   0 3 1 2   7 218 103 186
38 57 6 25   3 0 2 1   231 58 135 90
25 6 57 38   2 1 3 0   154 71 250 39
57 38 25 6   1 2 0 3   122 167 26 199
                           
7 24 39 56   0 3 1 2   8 217 104 185
39 56 7 24   3 0 2 1   232 57 136 89
24 7 56 39   2 1 3 0   153 72 249 40
56 39 24 7   1 2 0 3   121 168 25 200
                           
8 23 40 55   0 3 1 2   9 216 105 184
40 55 8 23   3 0 2 1   233 56 137 88
23 8 55 40   2 1 3 0   152 73 248 41
55 40 23 8   1 2 0 3   120 169 24 201
                           
9 22 41 54   0 3 1 2   10 215 106 183
41 54 9 22   3 0 2 1   234 55 138 87
22 9 54 41   2 1 3 0   151 74 247 42
54 41 22 9   1 2 0 3   119 170 23 202
                           
10 21 42 53   0 3 1 2   11 214 107 182
42 53 10 21   3 0 2 1   235 54 139 86
21 10 53 42   2 1 3 0   150 75 246 43
53 42 21 10   1 2 0 3   118 171 22 203
                           
11 20 43 52   0 3 1 2   12 213 108 181
43 52 11 20   3 0 2 1   236 53 140 85
20 11 52 43   2 1 3 0   149 76 245 44
52 43 20 11   1 2 0 3   117 172 21 204
                           
12 19 44 51   0 3 1 2   13 212 109 180
44 51 12 19   3 0 2 1   237 52 141 84
19 12 51 44   2 1 3 0   148 77 244 45
51 44 19 12   1 2 0 3   116 173 20 205
                           
13 18 45 50   0 3 1 2   14 211 110 179
45 50 13 18   3 0 2 1   238 51 142 83
18 13 50 45   2 1 3 0   147 78 243 46
50 45 18 13   1 2 0 3   115 174 19 206
                           
14 17 46 49   0 3 1 2   15 210 111 178
46 49 14 17   3 0 2 1   239 50 143 82
17 14 49 46   2 1 3 0   146 79 242 47
49 46 17 14   1 2 0 3   114 175 18 207
                           
15 16 47 48   0 3 1 2   16 209 112 177
47 48 15 16   3 0 2 1   240 49 144 81
16 15 48 47   2 1 3 0   145 80 241 48
48 47 16 15   1 2 0 3   113 176 17 208

 

 

Put the 16 panmagic 4x4 squares in sequence together.

 

 

16x16 magic square

1 224 97 192 2 223 98 191 3 222 99 190 4 221 100 189
225 64 129 96 226 63 130 95 227 62 131 94 228 61 132 93
160 65 256 33 159 66 255 34 158 67 254 35 157 68 253 36
128 161 32 193 127 162 31 194 126 163 30 195 125 164 29 196
5 220 101 188 6 219 102 187 7 218 103 186 8 217 104 185
229 60 133 92 230 59 134 91 231 58 135 90 232 57 136 89
156 69 252 37 155 70 251 38 154 71 250 39 153 72 249 40
124 165 28 197 123 166 27 198 122 167 26 199 121 168 25 200
9 216 105 184 10 215 106 183 11 214 107 182 12 213 108 181
233 56 137 88 234 55 138 87 235 54 139 86 236 53 140 85
152 73 248 41 151 74 247 42 150 75 246 43 149 76 245 44
120 169 24 201 119 170 23 202 118 171 22 203 117 172 21 204
13 212 109 180 14 211 110 179 15 210 111 178 16 209 112 177
237 52 141 84 238 51 142 83 239 50 143 82 240 49 144 81
148 77 244 45 147 78 243 46 146 79 242 47 145 80 241 48
116 173 20 205 115 174 19 206 114 175 18 207 113 176 17 208

 

 

The 16x16 magic square is not fully 2x2 compact. Use the Khajuraho method to swap digits.

 

 

Franklin panmagic 16x16 square

4 224 97 189 3 223 98 190 2 222 99 191 1 221 100 192
225 61 132 96 226 62 131 95 227 63 130 94 228 64 129 93
160 68 253 33 159 67 254 34 158 66 255 35 157 65 256 36
125 161 32 196 126 162 31 195 127 163 30 194 128 164 29 193
8 220 101 185 7 219 102 186 6 218 103 187 5 217 104 188
229 57 136 92 230 58 135 91 231 59 134 90 232 60 133 89
156 72 249 37 155 71 250 38 154 70 251 39 153 69 252 40
121 165 28 200 122 166 27 199 123 167 26 198 124 168 25 197
12 216 105 181 11 215 106 182 10 214 107 183 9 213 108 184
233 53 140 88 234 54 139 87 235 55 138 86 236 56 137 85
152 76 245 41 151 75 246 42 150 74 247 43 149 73 248 44
117 169 24 204 118 170 23 203 119 171 22 202 120 172 21 201
16 212 109 177 15 211 110 178 14 210 111 179 13 209 112 180
237 49 144 84 238 50 143 83 239 51 142 82 240 52 141 81
148 80 241 45 147 79 242 46 146 78 243 47 145 77 244 48
113 173 20 208 114 174 19 207 115 175 18 206 116 176 17 205

 

 

This 16x16 magic square is panmagic, 2x2 compact and each 1/4 row/column/diagonal gives 1/4 of the magic sum. 

 

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