Pantriagonal 6x6x6 magic cube

 

I have analyzed the pantriagonal 6x6x6 magic cube on the website of Jos Luyendijk (http://www.entertainmentmathematics.nl/index.html)

 

This 6x6x6 magic cube is based on a 3x3 magic square.

 

The first grid consists of the 3x3 magic square and the shifted  and inverse (shifted) versions of the 3x3 magic square. See in the second level top left the 3x3 magic square and top right the inverse 3x3 magic square. In the first and third level the columns of the second level are shifted (or swapped). Level 4 up to 6 is the inverse of level 1 up to 3.

 

 

Take 1x number from first grid 

 

 

    30 30 30 30 30 30
  1            
30   1 8 6 9 2 4
30   5 3 7 5 7 3
30   9 4 2 1 6 8
30   9 2 4 1 8 6
30   5 7 3 5 3 7
30   1 6 8 9 4 2
               
    30 30 30 30 30 30
  2            
30   6 1 8 4 9 2
30   7 5 3 3 5 7
30   2 9 4 8 1 6
30   4 9 2 6 1 8
30   3 5 7 7 5 3
30   8 1 6 2 9 4
               
    30 30 30 30 30 30
  3            
30   8 6 1 2 4 9
30   3 7 5 7 3 5
30   4 2 9 6 8 1
30   2 4 9 8 6 1
30   7 3 5 3 7 5
30   6 8 1 4 2 9
               
    30 30 30 30 30 30
  4=1'            
30   9 2 4 1 8 6
30   5 7 3 5 3 7
30   1 6 8 9 4 2
30   1 8 6 9 2 4
30   5 3 7 5 7 3
30   9 4 2 1 6 8
               
    30 30 30 30 30 30
  5=2'            
30   4 9 2 6 1 8
30   3 5 7 7 5 3
30   8 1 6 2 9 4
30   6 1 8 4 9 2
30   7 5 3 3 5 7
30   2 9 4 8 1 6

 

 

In the second grid we need the numbers 1 up to 24 to construct (2x) 4 magic 3x3 squares with each time 3 different numbers in it. We must take care that each time the addition of 2 x 3 numbers give (6/2 x [1+24] = ) 75. We also must take care that the 5th up to the 8th magic 3x3 square consists of the inverse numbers of the 1st up to the 4th magic square and that there are no double numbers in it. So we use the table below to puzzle the right numbers.

 

 

 

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13
  21 1       5         15    
75 54   23       19           12
  21       4       8 9      
75 54     22       18       14  

 

 

Notify that the first level of the second grid consists of the numbers from the table. In the second and third level the columns are shifted (or swapped). The 4th up to the 6th level is the same as the 1st up to the 3rd level, but the 4 magic 3x3 squares are swapped and the numbers are replaced by the inverse numbers.

 

 

+ 9x (digit -/- 1) from second grid 

 

 

    75 75 75 75 75 75
  1            
75   1 5 15 23 19 12
75   5 15 1 19 12 23
75   15 1 5 12 23 19
75   22 18 14 4 8 9
75   18 14 22 8 9 4
75   14 22 18 9 4 8
               
    75 75 75 75 75 75
  2            
75   5 15 1 19 12 23
75   15 1 5 12 23 19
75   1 5 15 23 19 12
75   18 14 22 8 9 4
75   14 22 18 9 4 8
75   22 18 14 4 8 9
               
    75 75 75 75 75 75
  3            
75   15 1 5 12 23 19
75   1 5 15 23 19 12
75   5 15 1 19 12 23
75   14 22 18 9 4 8
75   22 18 14 4 8 9
75   18 14 22 8 9 4
               
    75 75 75 75 75 75
  4=1'            
75   21 17 16 3 7 11
75   17 16 21 7 11 3
75   16 21 17 11 3 7
75   2 6 13 24 20 10
75   6 13 2 20 10 24
75   13 2 6 10 24 20
               
    75 75 75 75 75 75
  5=2'            
75   17 16 21 7 11 3
75   16 21 17 11 3 7
75   21 17 16 3 7 11
75   6 13 2 20 10 24
75   13 2 6 10 24 20
75   2 6 13 24 20 10
               
    75 75 75 75 75 75
  6=3'            
75   16 21 17 11 3 7
75   21 17 16 3 7 11
75   17 16 21 7 11 3
75   13 2 6 10 24 20
75   2 6 13 24 20 10
75   6 13 2 20 10 24

 

 

= Pantriagonal 6x6x6 magic cube

 

1st level        
           
1 44 132 207 164 103
41 129 7 167 106 201
135 4 38 100 204 170
198 155 121 28 71 78
158 124 192 68 75 34
118 195 161 81 31 65
           
2nd level        
           
42 127 8 166 108 200
133 5 39 102 203 169
2 45 130 206 163 105
157 126 191 69 73 35
120 194 160 79 32 66
197 154 123 29 72 76
           
3th level        
           
134 6 37 101 202 171
3 43 131 205 165 104
40 128 9 168 107 199
119 193 162 80 33 64
196 156 122 30 70 77
159 125 190 67 74 36
           
4th level        
           
189 146 139 19 62 96
149 142 183 59 93 25
136 186 152 99 22 56
10 53 114 216 173 85
50 111 16 176 88 210
117 13 47 82 213 179
           
5th level        
           
148 144 182 60 91 26
138 185 151 97 23 57
188 145 141 20 63 94
51 109 17 175 90 209
115 14 48 84 212 178
11 54 112 215 172 87
           
6th level        
           
137 184 153 98 24 55
187 147 140 21 61 95
150 143 181 58 92 27
116 15 46 83 211 180
12 52 113 214 174 86
49 110 18 177 89 208

 

 

See in the download below that each row/column in each level and the pillars through the levels and all 144 pantriagonals (including the 4 main triagonals) give the same magic sum.

 

Download
6x6x6, pantriagonal, analysis.xlsx
Microsoft Excel werkblad 63.9 KB

 

To prove that the analysis is correct, we construct another pantriagonal 6x6x6 magic cube.

 

We use another 3x3 magic square to build up the first grid.

 

 

Take 1x digit from 1st grid

 

    30 30 30 30 30 30
               
30   1 6 8 9 4 2
30   5 7 3 5 3 7
30   9 2 4 1 8 6
30   9 4 2 1 6 8
30   5 3 7 5 7 3
30   1 8 6 9 2 4
               
    30 30 30 30 30 30
               
30   8 1 6 2 9 4
30   3 5 7 7 5 3
30   4 9 2 6 1 8
30   2 9 4 8 1 6
30   7 5 3 3 5 7
30   6 1 8 4 9 2
               
    30 30 30 30 30 30
               
30   6 8 1 4 2 9
30   7 3 5 3 7 5
30   2 4 9 8 6 1
30   4 2 9 6 8 1
30   3 7 5 7 3 5
30   8 6 1 2 4 9
               
    30 30 30 30 30 30
               
30   9 4 2 1 6 8
30   5 3 7 5 7 3
30   1 8 6 9 2 4
30   1 6 8 9 4 2
30   5 7 3 5 3 7
30   9 2 4 1 8 6
               
    30 30 30 30 30 30
               
30   2 9 4 8 1 6
30   7 5 3 3 5 7
30   6 1 8 4 9 2
30   8 1 6 2 9 4
30   3 5 7 7 5 3
30   4 9 2 6 1 8
               
    30 30 30 30 30 30
               
30   4 2 9 6 8 1
30   3 7 5 7 3 5
30   8 6 1 2 4 9
30   6 8 1 4 2 9
30   7 3 5 3 7 5
30   2 4 9 8 6 1

 

 

We create another adequate table with the numbers 1 up to 24 and build up the second grid.

 

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13
  25 1                   11 13
75 50     22   20     8        
  25   2         7   16      
75 50       21   19       10    

 

 

+ 9x number from second grid

 

    75 75 75 75 75 75
               
75   1 11 13 22 20 8
75   11 13 1 20 8 22
75   13 1 11 8 22 20
75   21 19 10 2 7 16
75   19 10 21 7 16 2
75   10 21 19 16 2 7
               
    75 75 75 75 75 75
               
75   11 13 1 20 8 22
75   13 1 11 8 22 20
75   1 11 13 22 20 8
75   19 10 21 7 16 2
75   10 21 19 16 2 7
75   21 19 10 2 7 16
               
    75 75 75 75 75 75
               
75   13 1 11 8 22 20
75   1 11 13 22 20 8
75   11 13 1 20 8 22
75   10 21 19 16 2 7
75   21 19 10 2 7 16
75   19 10 21 7 16 2
               
    75 75 75 75 75 75
               
75   23 18 9 4 6 15
75   18 9 23 6 15 4
75   9 23 18 15 4 6
75   3 5 17 24 14 12
75   5 17 3 14 12 24
75   17 3 5 12 24 14
               
    75 75 75 75 75 75
               
75   18 9 23 6 15 4
75   9 23 18 15 4 6
75   23 18 9 4 6 15
75   5 17 3 14 12 24
75   17 3 5 12 24 14
75   3 5 17 24 14 12
               
    75 75 75 75 75 75
               
75   9 23 18 15 4 6
75   23 18 9 4 6 15
75   18 9 23 6 15 4
75   17 3 5 12 24 14
75   3 5 17 24 14 12
75   5 17 3 14 12 24

 

 

= pantriagonal 6x6x6 magic cube

 

1st level        
           
1 96 116 198 175 65
95 115 3 176 66 196
117 2 94 64 197 177
189 166 83 10 60 143
167 84 187 59 142 12
82 188 168 144 11 58
           
2nd level        
           
98 109 6 173 72 193
111 5 97 70 194 174
4 99 110 195 172 71
164 90 184 62 136 15
88 185 165 138 14 61
186 163 89 13 63 137
           
3th level        
           
114 8 91 67 191 180
7 93 113 192 178 68
92 112 9 179 69 190
85 182 171 141 17 55
183 169 86 16 57 140
170 87 181 56 139 18
           
4th level        
           
207 157 74 28 51 134
158 75 205 50 133 30
73 206 159 135 29 49
19 42 152 216 121 101
41 151 21 122 102 214
153 20 40 100 215 123
           
5th level        
           
155 81 202 53 127 33
79 203 156 129 32 52
204 154 80 31 54 128
44 145 24 119 108 211
147 23 43 106 212 120
22 45 146 213 118 107
           
6th level        
           
76 200 162 132 35 46
201 160 77 34 48 131
161 78 199 47 130 36
150 26 37 103 209 126
25 39 149 210 124 104
38 148 27 125 105 208

 

 

N.B.: You can use this method to contruct three dimensional magic cubes of double odd order.

 

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