Pantriagonaal magische 6x6x6 kubus

 

Ik heb de pantriagonale 6x6x6 magische kubus, die op de website van Jos Luyendijk (http://www.entertainmentmathematics.nl/index.html) staat, geanalyseerd. 

 

Basis voor deze 6x6x6 magische kubus is het 3x3 magisch vierkant.

 

Het eerste patroon bestaat uit het 3x3 magisch vierkant en de verschoven en inverse versies hiervan. Zie in de 2e laag links bovenin een 3x3 magisch vierkant met daarnaast het inverse 3x3 magisch vierkant. In de 1e en 3e laag zijn de kolommen van de 2e laag verschoven of omgewisseld. Laag 4 t/m 6 is de inverse van laag 1 t/m 3.

 

 

Neem 1x getal uit 1e patroon 

 

    30 30 30 30 30 30
  1            
30   1 8 6 9 2 4
30   5 3 7 5 7 3
30   9 4 2 1 6 8
30   9 2 4 1 8 6
30   5 7 3 5 3 7
30   1 6 8 9 4 2
               
    30 30 30 30 30 30
  2            
30   6 1 8 4 9 2
30   7 5 3 3 5 7
30   2 9 4 8 1 6
30   4 9 2 6 1 8
30   3 5 7 7 5 3
30   8 1 6 2 9 4
               
    30 30 30 30 30 30
  3            
30   8 6 1 2 4 9
30   3 7 5 7 3 5
30   4 2 9 6 8 1
30   2 4 9 8 6 1
30   7 3 5 3 7 5
30   6 8 1 4 2 9
               
    30 30 30 30 30 30
  4=1'            
30   9 2 4 1 8 6
30   5 7 3 5 3 7
30   1 6 8 9 4 2
30   1 8 6 9 2 4
30   5 3 7 5 7 3
30   9 4 2 1 6 8
               
    30 30 30 30 30 30
  5=2'            
30   4 9 2 6 1 8
30   3 5 7 7 5 3
30   8 1 6 2 9 4
30   6 1 8 4 9 2
30   7 5 3 3 5 7
30   2 9 4 8 1 6

 

 

Voor het 2e patroon hebben we de getallen 1 t/m (8 x 3 = ) 24 nodig, waarvan we (2 x) 4 magische 3x3 vierkanten maken met telkens 3 verschillende getallen erin. Hierbij moeten we er ten eerste voor zorgdragen dat 2 x 3 getallen telkens bij elkaar (6/2 x [1 + 24] = ) 75 is. Ten tweede moeten het 5e t/m 8e magische 3x3 vierkant de inverse getallen van het 1e t/m 4e magisch 3x3 vierkant bevatten (uit te puzzelen via onderstaande tabel).

 

 

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13
  21 1       5         15    
75 54   23       19           12
  21       4       8 9      
75 54     22       18       14  

 

 

Zie dat de 1e laag van het tweede patroon de eerste 4 magische 3x3 vierkanten bevat die met behulp van bovenstaande tabel zijn gemaakt. In de 2e en 3e laag zijn de kolommen verschoven of omgewisseld. De 4e t/m 6e laag is de 1e t/m 3e laag, waarbij de 4 magische 3x3 vierkanten zijn verwisseld en zijn gevuld met de inverse getallen.

 

 

+ 9x (getal -/- 1) vanuit 2e patroon 

 

    75 75 75 75 75 75
  1            
75   1 5 15 23 19 12
75   5 15 1 19 12 23
75   15 1 5 12 23 19
75   22 18 14 4 8 9
75   18 14 22 8 9 4
75   14 22 18 9 4 8
               
    75 75 75 75 75 75
  2            
75   5 15 1 19 12 23
75   15 1 5 12 23 19
75   1 5 15 23 19 12
75   18 14 22 8 9 4
75   14 22 18 9 4 8
75   22 18 14 4 8 9
               
    75 75 75 75 75 75
  3            
75   15 1 5 12 23 19
75   1 5 15 23 19 12
75   5 15 1 19 12 23
75   14 22 18 9 4 8
75   22 18 14 4 8 9
75   18 14 22 8 9 4
               
    75 75 75 75 75 75
  4=1'            
75   21 17 16 3 7 11
75   17 16 21 7 11 3
75   16 21 17 11 3 7
75   2 6 13 24 20 10
75   6 13 2 20 10 24
75   13 2 6 10 24 20
               
    75 75 75 75 75 75
  5=2'            
75   17 16 21 7 11 3
75   16 21 17 11 3 7
75   21 17 16 3 7 11
75   6 13 2 20 10 24
75   13 2 6 10 24 20
75   2 6 13 24 20 10
               
    75 75 75 75 75 75
  6=3'            
75   16 21 17 11 3 7
75   21 17 16 3 7 11
75   17 16 21 7 11 3
75   13 2 6 10 24 20
75   2 6 13 24 20 10
75   6 13 2 20 10 24

 

 

= Pantriagonale 6x6x6 magische kubus

 

1e laag        
           
1 44 132 207 164 103
41 129 7 167 106 201
135 4 38 100 204 170
198 155 121 28 71 78
158 124 192 68 75 34
118 195 161 81 31 65
           
2e laag        
           
42 127 8 166 108 200
133 5 39 102 203 169
2 45 130 206 163 105
157 126 191 69 73 35
120 194 160 79 32 66
197 154 123 29 72 76
           
3e laag        
           
134 6 37 101 202 171
3 43 131 205 165 104
40 128 9 168 107 199
119 193 162 80 33 64
196 156 122 30 70 77
159 125 190 67 74 36
           
4e laag        
           
189 146 139 19 62 96
149 142 183 59 93 25
136 186 152 99 22 56
10 53 114 216 173 85
50 111 16 176 88 210
117 13 47 82 213 179
           
5e laag        
           
148 144 182 60 91 26
138 185 151 97 23 57
188 145 141 20 63 94
51 109 17 175 90 209
115 14 48 84 212 178
11 54 112 215 172 87
           
6e laag        
           
137 184 153 98 24 55
187 147 140 21 61 95
150 143 181 58 92 27
116 15 46 83 211 180
12 52 113 214 174 86
49 110 18 177 89 208

 

 

Zie in de download hieronder dat de 6x6x6 magische kubus kloppend is voor de rijen/kolommen in elke laag en de pilaren en alle 144 pantriagonalen (= inclusief de 4 [hoofd]triagonalen) door de lagen heen.

 

Download
6x6x6, pantriagonaal, analyse.xlsx
Microsoft Excel werkblad 63.9 KB

 

Om te bewijzen dat bovenstaande analyse klopt, maken we nu een andere pantriagonale 6x6x6 magische kubus.

 

We gebruiken een andere 3x3 magisch vierkant als basis voor het eerste patroon.

 

 

Neem 1x getal vanuit 1e patroon

 

    30 30 30 30 30 30
               
30   1 6 8 9 4 2
30   5 7 3 5 3 7
30   9 2 4 1 8 6
30   9 4 2 1 6 8
30   5 3 7 5 7 3
30   1 8 6 9 2 4
               
    30 30 30 30 30 30
               
30   8 1 6 2 9 4
30   3 5 7 7 5 3
30   4 9 2 6 1 8
30   2 9 4 8 1 6
30   7 5 3 3 5 7
30   6 1 8 4 9 2
               
    30 30 30 30 30 30
               
30   6 8 1 4 2 9
30   7 3 5 3 7 5
30   2 4 9 8 6 1
30   4 2 9 6 8 1
30   3 7 5 7 3 5
30   8 6 1 2 4 9
               
    30 30 30 30 30 30
               
30   9 4 2 1 6 8
30   5 3 7 5 7 3
30   1 8 6 9 2 4
30   1 6 8 9 4 2
30   5 7 3 5 3 7
30   9 2 4 1 8 6
               
    30 30 30 30 30 30
               
30   2 9 4 8 1 6
30   7 5 3 3 5 7
30   6 1 8 4 9 2
30   8 1 6 2 9 4
30   3 5 7 7 5 3
30   4 9 2 6 1 8
               
    30 30 30 30 30 30
               
30   4 2 9 6 8 1
30   3 7 5 7 3 5
30   8 6 1 2 4 9
30   6 8 1 4 2 9
30   7 3 5 3 7 5
30   2 4 9 8 6 1

 

 

We maken een andere kloppende tabel voor de getallen 1 t/m 24 en vullen die in in het tweede patroon.

 

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13
  25 1                   11 13
75 50     22   20     8        
  25   2         7   16      
75 50       21   19       10    

 

 

+ 9x getal vanuit 2e patroon

 

    75 75 75 75 75 75
               
75   1 11 13 22 20 8
75   11 13 1 20 8 22
75   13 1 11 8 22 20
75   21 19 10 2 7 16
75   19 10 21 7 16 2
75   10 21 19 16 2 7
               
    75 75 75 75 75 75
               
75   11 13 1 20 8 22
75   13 1 11 8 22 20
75   1 11 13 22 20 8
75   19 10 21 7 16 2
75   10 21 19 16 2 7
75   21 19 10 2 7 16
               
    75 75 75 75 75 75
               
75   13 1 11 8 22 20
75   1 11 13 22 20 8
75   11 13 1 20 8 22
75   10 21 19 16 2 7
75   21 19 10 2 7 16
75   19 10 21 7 16 2
               
    75 75 75 75 75 75
               
75   23 18 9 4 6 15
75   18 9 23 6 15 4
75   9 23 18 15 4 6
75   3 5 17 24 14 12
75   5 17 3 14 12 24
75   17 3 5 12 24 14
               
    75 75 75 75 75 75
               
75   18 9 23 6 15 4
75   9 23 18 15 4 6
75   23 18 9 4 6 15
75   5 17 3 14 12 24
75   17 3 5 12 24 14
75   3 5 17 24 14 12
               
    75 75 75 75 75 75
               
75   9 23 18 15 4 6
75   23 18 9 4 6 15
75   18 9 23 6 15 4
75   17 3 5 12 24 14
75   3 5 17 24 14 12
75   5 17 3 14 12 24

 

 

= pantriagonale 6x6x6 magische kubus

 

1e laag        
           
1 96 116 198 175 65
95 115 3 176 66 196
117 2 94 64 197 177
189 166 83 10 60 143
167 84 187 59 142 12
82 188 168 144 11 58
           
2e laag        
           
98 109 6 173 72 193
111 5 97 70 194 174
4 99 110 195 172 71
164 90 184 62 136 15
88 185 165 138 14 61
186 163 89 13 63 137
           
3e laag        
           
114 8 91 67 191 180
7 93 113 192 178 68
92 112 9 179 69 190
85 182 171 141 17 55
183 169 86 16 57 140
170 87 181 56 139 18
           
4e laag        
           
207 157 74 28 51 134
158 75 205 50 133 30
73 206 159 135 29 49
19 42 152 216 121 101
41 151 21 122 102 214
153 20 40 100 215 123
           
5e laag        
           
155 81 202 53 127 33
79 203 156 129 32 52
204 154 80 31 54 128
44 145 24 119 108 211
147 23 43 106 212 120
22 45 146 213 118 107
           
6e laag        
           
76 200 162 132 35 46
201 160 77 34 48 131
161 78 199 47 130 36
150 26 37 103 209 126
25 39 149 210 124 104
38 148 27 125 105 208

 

 

N.B.: Deze methode blijkt gebruik te kunnen worden om driedimensionale magische kubussen van dubbel oneven grootte te kunnen maken.

 

Download
6x6x6, pantriagonaal.xlsx
Microsoft Excel werkblad 51.1 KB